Sử dụng các đối số đối xứng
Tôi đang cố gắng giải quyết vấn đề $$\int d^3x\,e^{i{\bf a}\cdot{\bf x}}e^{-br^2}$$sử dụng các đối số đối xứng. Ai đó có thể hướng dẫn tôi đến một câu hỏi tương tự hoặc hướng dẫn tôi giải quyết một vấn đề tương tự để tôi có thể học phương pháp giải quyết những vấn đề như thế này không?
chỉnh sửa: Đây là các bước tôi đã thực hiện: $$\int d^3x\,e^{i{\bf a}\cdot{\bf x}}e^{-br^2}$$ $$\int_V r^2\sin\theta\, e^{iar\sin^2\theta\cos^2\phi}e^{-br^2}dr\,d\theta\, d\phi,$$ và tôi nghĩ tôi có thể lập luận rằng $\theta = \pi /2$ và $\phi = 0$, nhưng tôi không biết liệu điều đó có ảnh hưởng đến tích phân hay không.
chỉnh sửa 2:
Sau khi nhận được lời khuyên từ Daniel và Cosmas, bây giờ tôi thấy tại sao tọa độ cầu không phải là chuyển động chính xác. Theo các bước do Cosmas hướng dẫn chi tiết,$$\int_0^ze^{iaz-bz^2}dz\int_0^xe^{-bx^2}dx\int_0^ye^{-by^2}dy$$ $$= \int_0^ze^{iaz-bz^2}dz\left( \frac{\pi}{4b}erf(\sqrt{b}x)erf(\sqrt{b}y)\right)$$ $$=\left( \frac{\sqrt{\pi}e^{-\frac{a^2}{4b}}erf(\sqrt{b}z-\frac{ia}{2\sqrt{b}})}{2\sqrt{b}} \right)\left( \frac{\pi}{4b}erf(\sqrt{b}x)erf(\sqrt{b}y)\right),$$
mà tôi giả sử rằng bạn sẽ giải quyết thêm khi cung cấp thêm thông tin về các giá trị của x, y và z, vì các hàm lỗi có giá trị nhỏ và có giá trị lớn có các mở rộng khác nhau. Cosmas đã đề nghị loại bỏ thuật ngữ b ngay lập tức nhưng tôi đã làm điều đó trong các phần bằng cách sử dụng thay thế u.
Trả lời
Đây là sản phẩm của các phép biến đổi Fourier của ba Gaussian. Nhưng, tất nhiên, với sự đối xứng đáng kể, vì vậy sẽ rất lãng phí nếu thực hiện cả ba.
Đầu tiên, bằng cách xác định lại $\sqrt{b} ~{\mathbf x}\mapsto {\mathbf x}$, thang điểm b ra khỏi vấn đề,$$\int d^3x\,e^{i{\bf a}\cdot{\bf x}}e^{-br^2}= b^{-3/2} \int d^3x\,e^{i{{\bf a}\over \sqrt{b}}\cdot{\bf x}}e^{-r^2}.$$
Sau đó, bạn lưu ý rằng, vì bạn tích hợp trên tất cả các hướng, bạn có thể chọn trục z của mình theo hướng a , nghĩa là${\mathbf a}= a\hat {\mathbf z} $, $$ b^{-3/2} \int d^3x\,e^{i{{\bf a}\over \sqrt{b}}\cdot{\bf x}}e^{-r^2}= b^{-3/2} \int\!\! dz~ e^{i{ a\over \sqrt{b}} z}e^{-z^2}\int\!\! dx dy ~~e^{-x^2-y^2}.$$
Vì vậy, bạn có hai Gaussian và biến đổi Fourier của một Gaussian, cũng là một Gaussian với chiều rộng của nó liên quan nghịch với chiều rộng ban đầu. Bạn có thể hoàn thành.
$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ $\ds{\bbox[5px,#ffd]{\int\dd^{3}x\,\expo{\ic{\bf a}\cdot{\bf x}} \expo{-br^{2}}}:\ {\Large ?}}$.
\begin{align} &\bbox[5px,#ffd]{\int\dd^{3}x\,\expo{\ic{\bf a}\cdot{\bf x}} \expo{-br^{2}}} = \int_{0}^{\infty}\expo{-br^{2}} \pars{\int_{\Omega}\expo{\ic{\bf a}\cdot{\bf x}}{\dd\Omega \over 4\pi}} 4\pi r^{2}\,\dd r \\[5mm] = &\ \int_{0}^{\infty}\expo{-br^{2}} \bracks{\sin\pars{ar} \over ar}4\pi r^{2}\,\dd r \,\,\,\stackrel{\large ar\ \mapsto\ r}{=}\,\,\, \left.{2\pi \over a^{3}}\int_{-\infty}^{\infty}\expo{-\mu r^{2}} \bracks{\sin\pars{r} \over r}r^{2}\,\dd r \,\right\vert_{\large\ \mu\ \equiv\ b/a^{2}}\label{1}\tag{1} \\[5mm] = &\ {2\pi \over a^{3}}\int_{0}^{\infty}\expo{-\mu r^{2}} \bracks{{1 \over 2}\int_{-1}^{1}\expo{\ic kr}\dd k}r^{2}\,\dd r \\[5mm] = &\ {\pi \over a^{3}}\int_{-1}^{1}\int_{-\infty}^{\infty} \exp\pars{-\mu\bracks{r - {k \over 2\mu}\,\ic}^{2} - {k^{2} \over 4\mu}} r^{2}\,\dd r\,\dd k \\[5mm] = &\ {\pi \over a^{3}}\int_{-1}^{1}\exp\pars{-\,{k^{2} \over 4\mu}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp\pars{-\mu r^{2}} \pars{r^{2} + {k \over \mu}\,r\,\ic - {k^{2} \over 4\mu^{2}}}\,\dd r\,\dd k \\[5mm] = &\ {\pi \over a^{3}}\int_{-1}^{1}\exp\pars{-\,{k^{2} \over 4\mu}} \bracks{% \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}\exp\pars{-\mu r^{2}}r^{2}\,\dd r} _{\ds{\root{\pi} \over 2\mu^{3/2}}}\ -\ {k^{2} \over 4\mu^{2}}\ \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}\exp\pars{-\mu r^{2}}\,\dd r} _{\ds{\root{\pi} \over \mu^{1/2}}}}\,\dd k \\[5mm] = &\ {\pi \over a^{3}}{\root{\pi} \over 2\mu^{3/2}}\ \underbrace{\int_{-1}^{1}\exp\pars{-\,{k^{2} \over 4\mu}} \pars{1 - {k^{2} \over 4\mu}}\dd k} _{\ds{\exp\pars{-\,{1 \over 4\mu}} + \root{\pi\mu}\,\mrm{erf}\pars{1 \over 2\root{\mu}}}} \\[5mm] = &\ \bbx{{1 \over 2}\pars{\pi \over b}^{3/2}\exp\pars{-\,{a^{2} \over 4b}} + {\pi^{2} \over 2ab}\,\mrm{erf}\pars{a \over 2\root{b}}} \\ & \end{align}