Bản đồ co Krasnoselskii

Question

Định nghĩa: Cho không gian hệ mét$(X,d)$. Lập bản đồ$f: X \to X$ được gọi là ánh xạ co Krasnoselskii nếu $$\forall a,b>0, a<b, \exists k \in (0,1): a \le d(x,y) \le b \Rightarrow d(f(x),f(y)) \le kd(x,y).$$ Bài toán: Chứng minh ánh xạ dưới đây là ánh xạ co Krasnoselskii

1. Lập bản đồ $f: X \to X$ thỏa mãn $$d(f(x),f(y)) \le \varphi(d(x,y)),$$ Ở đâu $\varphi: [0,+\infty) \to [0,+\infty)$ liên tục, $\varphi(0)=0$ và $0 < \varphi(t) < t$ cho tất cả $t>0$.
2. $X$ là không gian nhỏ gọn và $f:X \to X$ thỏa mãn $$d(f(x),f(y)) < d(x,y), \forall x \neq y$$

Nỗ lực của tôi:

1. Bằng cách thiết lập $\psi(t)=\dfrac{\varphi(t)}{t}, t\in[a,b]$, Tôi đã chứng minh rằng $f$ là ánh xạ co Krasnoselskii.

2. Tôi không biết cách sử dụng $X$ là nhỏ gọn để giải quyết vấn đề.

Answer 1

Giả sử điều này là sai. Có tồn tại$x_k,y_k$ như vậy mà $a \leq d(x_k,y_k) \leq b$ và $d(f(x_k),f(y_k)) >(1-\frac 1 k) d(x_k,y_k)$. Bởi sự nhỏ gọn$(x_k)$ và $(y_k)$ hội tụ với một số $x$ và $y$dọc theo một dãy con. Hãy để giới hạn là$x$ và $y$. Sau đó$ d(f(x),f(y) \geq d(x,y)$. Điều này mâu thuẫn với giả thuyết vì$d(x,y) \geq a >0$ vì thế $x \neq y$.