Bối rối về $\mathcal{L}^2$-màu đỏ

Question

Xuất thân từ nền tảng vật lý, tôi còn khá mới mẻ với martingales và bây giờ tôi đang cố gắng nắm bắt một số khái niệm liên quan đến $\mathcal{L}^2$-màu đỏ. Một bài tập tôi đã được đưa ra trong khóa học bài giảng của mình như sau:

Để cho $\{M_n\}_{n\geq0}$ là một martingale trong $\mathcal{L}^2(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$và $\{H_n\}_{n\geq0}$ là một chuỗi của $\mathcal{F}_n$-các biến ngẫu nhiên có giới hạn có thể đo lường, trong đó $\mathcal{F}_n$ là quá trình lọc tự nhiên của $M_n$. Định nghĩa$I_n:=\sum_{k=1}^nH_{k-1}(M_k-M_{k-1})$.

a) Chứng minh rằng $\mathbb{E}(M_n^2-M_{n-1}^2)=\mathbb{E}[(M_n-M_{n-1})^2]$.

b) Chứng minh rằng $\{I_n\}_{n\geq1}$ là một martingale ở $\mathcal{L}^2(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$.

c) Chứng tỏ rằng $E(I_n^2)=\sum_{k=1}^n\mathbb{E}[H_{k-1}^2(M_k-M_{k-1})^2]$.

Tôi hiểu rằng gia số là trực giao, vì vậy nếu $m\leq n$ và $X\in\mathcal{F}_m$ với $\mathbb{E}(X)<\infty$, sau đó $\mathbb{E}[X(M_n-M_m)]=0$. Do đó đối với a), nếu tôi mở rộng RHS, $\mathbb{E}[(M_n-M_{n-1})^2]=\mathbb{E}(M_n^2-M_{n-1}^2+2M_{n-1}M_n])=\mathbb{E}(M_n^2-M_{n-1}^2)+2\mathbb{E}(M_{n-1}M_n)=\mathbb{E}(M_n^2-M_{n-1}^2)$, nhưng điều này có nghĩa là đòi hỏi  $M_0=0$như? (Tôi cũng có cùng một truy vấn khi áp dụng tính trực giao cho phần c).)

Đối với phần b), tôi không chắc chắn làm thế nào để áp dụng thông tin tôi có về $\{M_n\}$ và $\{H_n\}$ (tích phân vuông, có thể đo lường, $H$bị ràng buộc). Tôi không chắc làm thế nào để chứng minh sự ràng buộc trong cả hai$\mathcal{L}^1$ và $\mathcal{L}^2$, ai đó có thể chỉ cho tôi đi đúng hướng? Tôi biết tôi phải sử dụng giới hạn của$H$ nhưng không thể xác định được ở đâu ... Để chứng minh thuộc tính martingale, tôi đã sử dụng lập luận "lấy ra những gì đã biết" trên $H_n$ vì nó được điều chỉnh để $\mathcal{F}_n$, nhưng tôi nghĩ rằng tôi có thể chỉ đang đổ vào những điều ngẫu nhiên mà tôi đã học được về martingales vào thời điểm này ... ai đó cũng có thể cung cấp một số cảm hứng cho điều này?

Câu hỏi cuối cùng của tôi là, có gì đặc biệt về $\mathcal{L}^2$-martingales, hoặc nói chung $\mathcal{L}^p$martingales? (Tất cả những gì tôi biết là$X_n\overset{\mathcal{L}^p}{\to}X$ nếu $\mathbb{E}(|X|^p)<\infty$ cho $p>1$ (va cho $p=1$ chúng tôi yêu cầu chúng phải là giao diện người dùng (UI), nhưng chưa thấy gì nhiều ngoài điều này.) Nó có liên quan gì đến các biến thể bậc hai trong Chuyển động Brown không?

Answer 1

Để cho $\{M_n\}$ là một martingale tích hợp hình vuông đối với bộ lọc $(\mathcal F_n)$, để cho $(H_n)$ là $(F_n)$ quá trình thích nghi (đó là $H_n$ Là $\mathcal F_n$ có thể đo lường)

Để cho $I_n = \sum_{k=1}^{n} H_{k-1}(M_k - M_{k-1})$

Chúng tôi muốn thể hiện $3$ nhiều thứ:

a) Mở rộng hình vuông ta được $(M_n - M_{n-1})^2 = M_n^2 + M_{n-1}^2- 2M_nM_{n-1}$, vậy nên:

$$ \mathbb E[(M_n - M_{n-1})^2] = \mathbb E[M_n^2] + \mathbb E[M_{n-1}^2] - 2\mathbb E[M_n M_{n-1}]$$

Nhưng bởi tài sản martingale $\mathbb E[M_nM_{n-1}] = \mathbb E[\mathbb E[M_n M_{n-1} | \mathcal F_{n-1}] = \mathbb E[M_{n-1}\mathbb E[M_n \mathcal F_{n-1}]] = \mathbb E[M_{n-1}^2]$, vì thế $$ \mathbb E [(M_n-M_{n-1})^2] = \mathbb E[M_n^2] - \mathbb E[M_{n-1}^2]$$

b) Chúng tôi cần chứng minh rằng nó là một martingale trong $L_2$, do đó nó cần phải thỏa mãn ba điều.

• $I_n$ Là $\mathcal F_n$có thể đo lường được. Thật vậy, mọi$H_k$ và $M_k$ cho $k \in \{1,...,n\}$ Chúng tôi $\mathcal F_n$ có thể đo lường được, vì vậy $I_n$ vì sản phẩm / tổng của chúng là $\mathcal F_n$ có thể đo lường được.

• $I_n$là tích phân bình phương. Lưu ý rằng vì mọi$H_k$ là biến ngẫu nhiên có giới hạn, sau đó tồn tại $M$ như vậy mà $|H_1|,...,|H_n| < M$ gần như chắc chắn, do đó $$ \mathbb E[I_n^2] \le \mathbb E[ (\sum_{k=1}^n |H_{k-1}||M_k - M_{k-1}|)^2] \le M^2 \mathbb E[(\sum_{k=1}^n |M_k - M_{k-1}|)^2].$$ Mở rộng hình vuông, chúng tôi nhận được rất nhiều thuật ngữ về hình thức $(M_k - M_{k-1})^2$ hoặc là $(M_k-M_{k-1})(M_j-M_{j-1})$ vì vậy trên thực tế nó sẽ đủ để chứng minh rằng $M_jM_k$ có thể tích hợp cho bất kỳ $j,k \in \{1,...,n\}$ (do đó sau đó của chúng tôi $I_n^2$bị giới hạn bởi tổng hữu hạn của các số hạng như vậy, vì vậy sẽ có thể tích phân). Nhưng đối với$j \le k$ chúng tôi nhận được $\mathbb E[M_kM_j] = \mathbb E[M_j \mathbb E[M_k|\mathcal F_j]] = \mathbb E[M_j^2] < \infty$, từ $(M_n)$ là hình vuông có thể tích hợp.

• Tài sản có điều kiện. Lấy bất kỳ$n \in \mathbb N$. Chúng ta có:$$ \mathbb E[I_n|\mathcal F_{n-1}] = \sum_{k=1}^n \mathbb E[H_{k-1}(M_k-M_{k-1})|\mathcal F_{n-1}] = \sum_{k=1}^{n-1} H_k(M_k - M_{k-1}) + \mathbb E[H_{n-1}(M_n - M_{n-1}) | \mathcal F_n] $$

Tổng đầu tiên chỉ là $I_{n-1}$ và kỳ cuối cùng là $0$, nguyên nhân do khả năng đo lường mà chúng tôi có thể thực hiện $H_{n-1}$ ngoài mong đợi có điều kiện và thông qua tài sản martingale, $\mathbb E[M_n - M_{n-1} | \mathcal F_{n-1}] = 0$

c) Writtin $I_n^2$ tương tự như trong b), chúng ta thấy rằng nó sẽ đủ để chứng minh rằng $j < k$ chúng ta có $\mathbb E[(M_k - M_{k-1})(M_j - M_{j-1})] = 0$(vì khi đó chỉ các thuật ngữ "đường chéo" mới "tồn tại"). Và để xem nó, chỉ cần điều kiện$\mathcal F_{j}$ và có thể đo lường $(M_j-M_{j-1})$ ngoài mong đợi bên trong và sau đó sử dụng tài sản martingale bên trong, nhận được:

$$ \mathbb E[(M_k-M_{k-1})(M_j-M_{j-1})] = \mathbb E[(M_j-M_{j-1})\mathbb E[(M_k-M_{k-1})|\mathcal F_j]] = \mathbb E[(M_j-M_{j-1})\cdot 0] = 0$$