Dãy số nguyên A178157
http://oeis.org/A178157
A178157 là một dãy số mô tả các số chia hết cho tất cả các tiền tố của chúng. Ví dụ: 2020 nằm trong dãy số vì năm 2020 chia hết cho 2, 20 và 202, (và 2020). Tuy nhiên, tôi nhận thấy sau 100, tất cả các số trong dãy kết thúc bằng số 0. Vì vậy, câu hỏi của tôi là, có một số nào trong dãy A178157 lớn hơn 100 không kết thúc bằng số 0 không?
Tiến bộ của riêng tôi:
Một người bạn của tôi đã viết mã và kiểm tra tất cả các con số lên đến 100 triệu mà không may mắn. Có bằng chứng nào cho thấy tất cả các số lớn hơn 100 trong dãy này phải kết thúc bằng số 0?
Hướng dẫn duy nhất tôi có thể nghĩ ra khi cố gắng chứng minh rằng số đó cũng không được chứa bất kỳ số 0 nào vì sẽ có một hậu tố kết thúc bằng số 0.
Khá thú vị là có một dãy tương tự, A178158, nhìn vào các hậu tố thay vì tiền tố và có nhiều số lớn trong dãy không chứa số 0, ví dụ: 53125 chia hết cho 5, 25, 125, 3125 , (và 53125). Không có số nào trong dãy số này kết thúc bằng số 0, điều này dễ chứng minh hơn nhiều, vì tiền tố đầu tiên là số 0 và bạn không thể chia cho số không.
Trả lời
Câu trả lời là bất kỳ số nào có ba chữ số trở lên như vậy phải kết thúc bằng $0.$
Nếu $n\geq 10$ Sau đó $10n+d$ chia hết cho $n,$ bạn phải có $d$ chia hết cho $n.$ Nhưng nếu $d$ là một chữ số, sau đó $0\leq d<10\leq n,$ vì vậy điều duy nhất có thể $d$ Là $0.$
Đối số này hoạt động trong bất kỳ cơ sở nào.
Như Ross đã đề cập trong phần bình luận, nếu con số có $2k+1,$ hoặc nhiều chữ số hơn, nó phải kết thúc bằng $k$ số không.
Điều này có thể được nhìn thấy bằng một đối số tương tự hoặc sử dụng cơ sở $10^k,$ lưu ý rằng bất kỳ số nào thỏa mãn thuộc tính cho cơ số $10$ cũng là một số cho cơ sở $10^k,$ và một số với $2k+1$ hoặc nhiều chữ số trong cơ sở $10$ Là $3$ hoặc nhiều chữ số trong cơ sở $10^k.$
Không liên quan đến câu hỏi, nhưng với bất kỳ số nào như vậy, chúng ta không chỉ có thể thêm số không vào cuối mà còn có thể thêm số không ngay trước chữ số khác không cuối cùng. Đó là, nếu$$n=d_1d_2d_3\dots d_k\underbrace{0\dots0}_{p\text{ times}}$$ thì chúng ta có thể tìm thấy một số khác 0 trong số $0$ để thêm vào giữa $d_{k-1}$ và $d_k.$
Đặc biệt, $$n_1=d_1\dots d_{k-1}\underbrace{0\dots 0}_{m\text{ times}} d_k$$ sau đó $$10^{m+1}n-n_1=d_k(10^{m+1}-1)\cdot 10^p$$
Bây giờ nếu $f(N)$ là số $N$ với tất cả các yếu tố của $2$ và $5$ loại bỏ, bạn có thể xác định $$D=\operatorname{lcm}\left(f(d_1),f(d_1d_2),\cdots,f(d_1d_2\dots d_{k-1})\right)$$
Sau đó, bạn có thể xác định $m$ bớt đi một thứ tự của $10$ modulo $D.$
Ví dụ, với $n=14490000$ bạn có $$\operatorname{lcm}\left(f(1),f(14),f(144)\right)=\operatorname{lcm}(1,7,9)=63.$$
Lệnh của $10$ mod $9$ Là $1,$ vì vậy bạn chỉ cần thứ tự $10$ mod $7,$ và đó là $6$và $m$ Là $5.$ Sau đó:
$$144000009\cdot 10^9$$
Bạn cũng phải đệm phía bên phải bằng các số không.