lôgarit của số phức

Question

Nói chung cho logarit Nếu tôi có $2^4=16$ thì nó có nghĩa là $\log_2(16)=4$ (Ở đây 2 là cơ sở)

Vì vậy, giá trị của logarit về cơ bản cho chúng ta biết có bao nhiêu lần nhân cơ số cho một số.

Khi chúng ta lấy ln nó đơn giản có nghĩa là cơ số là e

Bây giờ bắt đầu câu hỏi của tôi

Lôgarit của số phức là gì?

Tôi nghĩ vì lôgarit cho chúng ta biết bao nhiêu lần nhân với cơ số. Nếu tôi lấy lôgarit, tôi sẽ nhận được số thực Bởi vì không có vấn đề gì nếu số thực được nhân lên thì câu trả lời là thực.

Nhưng cuốn sách tôi đã nói là phức tạp, thậm chí nó còn có một nguồn gốc cho nó.

Ai đó có thể giải thích logarit của số phức liên quan đến thực hoặc ít nhất là chia sẻ một số tài nguyên?

Cảm ơn bạn

Answer 1

Lưu ý rằng một số phức $z$ có thể được viết như $$z=|z|e^{i\theta}$$

Ở đâu $|x|$ có nghĩa là mô-đun của $x$

Vì vậy, lôgarit của $z$ sẽ là

$$z=|z|e^{i\theta}\\ \log z=\log (|z|e^{i\theta})\\ \log z= \log{|z|+\log{e^{i\theta}}}\\ \log{z}=\log{|z|}+i\theta$$

Để tính toán $|z|$chúng ta có thể đơn giản sử dụng định lý pitagorean. Để tính toán$\theta$ chúng ta có thể sử dụng $\arctan \theta$vì chúng ta biết cả hai mặt liền kề và đối diện. Thông báo rằng$\theta$ không chỉ là một giải pháp, bởi vì $\tan{(\theta+2\pi n)}= \tan{\theta}$, vì vậy chúng tôi thực sự nhận được một nhánh của các giải pháp. Mặc dù thực tế là như vậy, chúng tôi thường chỉ sử dụng cái chính, là cái thuộc về bộ$(-\pi,\pi]$