Thuộc tính tích hợp

Question

Để cho $T>0$đã sửa. Để cho$f,g : [0,T] \subset \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ các chức năng khác biệt như vậy, đối với một số $c>1$, $$f(x) \geq c, \; \forall \; x \in [0,T] .$$

tôi biết điều đó $f\cdot g$ cũng có thể tích hợp.

Câu hỏi. Có đúng như vậy không$$\int_{0}^T c \cdot g(x) \; dx \leq \int_{0}^T f(x) \cdot g(x) \; dx?$$

Tôi đã nghĩ đến việc áp dụng tích hợp theo từng phần để cố gắng chứng minh điều đó, nhưng tôi không thể kết luận được gì.

Answer 1

Điều này là sai. $f(x)=c+1$ và $g(x)=-1$ đưa ra một ví dụ ngược lại.

Tuy nhiên, nếu chúng ta cũng có $g(x) \geq 0$ sau đó $f(x)g(x)-cg(x) \geq 0$ vì thế $\int_0^{T} [f(x)g(x)-cg(x)] \geq 0$ cái nào cho $\int_0^{T} f(x)g(x) \geq c \int_0^{T} f(x)dx$.