Tìm lim sup
Tôi không thể tìm ra cách để giải quyết vấn đề này. Tôi đã thử sử dụng định nghĩa của lim sup nhưng không có ở đâu.
Hãy xem xét loạt bài: $\sum^\infty_{n=1} a_n = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots+\cdots$
Sau đó $\limsup_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=$
Chỉnh sửa: Đây là công việc tôi đã làm vào tối hôm qua. Tôi xin lỗi vì đã không thể hiện công việc của mình.
Tôi đã xem xét trình tự $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$. Tôi quan sát thấy nó giống như$\frac{2}{3}, \frac{3}{2^2}, \frac{2^2}{3^2},\frac{3^2}{2^3},\cdots$.
Vì vậy, các điều khoản chung trông giống như $(\frac{2}{3})^n$ cho $n$ lẻ và $\frac{1}{2}(\frac{3}{2})^n$ cho $n$ cũng.
Tôi xem xét các đỉnh của trình tự đuôi và sau đó quyết định tìm sơ đồ của chúng. Trình tự như tôi tìm thấy có$\infty$ là tối đa của mỗi chuỗi đuôi vì chuỗi cho $n$thậm chí là tăng đơn điệu. Do đó, tôi suy ra rằng limsup phải$\infty$. Tuy nhiên, câu trả lời được đưa ra là$\frac{1}{2}$.
Chuỗi này tôi tìm thấy tất nhiên là một sai lầm vì số mũ tôi đã lấy là sai.
Trình tự thực sự trông giống như $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\cases{(\frac{2}{3})^{\frac{n+1}{2}}& n is odd\\ \frac{1}{2}(\frac{3}{2})^\frac{n}{2}& n is even}$
Nhưng vẫn còn, trình tự tối cao của các đuôi chỉ bao gồm $\infty$ và do đó thông tin của các tối cao là $\infty$. Tôi đang thiếu gì?
Trả lời
Lập luận của bạn hoàn toàn ổn và "kẻ cướp" trong cái này là tác giả của vấn đề vì đã làm cho nó không rõ ràng về cách $a_{n}$là được thể hiện. Điều mà tôi thấy đúng với một số tác giả là; khi nghi ngờ một cuốn sách giáo khoa Toán học luôn được viết bằng "ba của".
Nếu thay vì điều trị $a_{n}$ là một chuỗi các lũy thừa tương hỗ xen kẽ của $2$ và $3$, chúng ta lấy $a_{n}$ là một chuỗi các lũy thừa bằng nhau, như trong $a_{n}=\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{3^{n}}$, sau đó chúng tôi nhận được một mô tả thay thế (và trong nhận thức sâu sắc là đúng) về chuỗi được đề cập. Theo chuỗi tính toán sau, chúng tôi đạt được$\lim \sup \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{2}$:
Đầu tiên bằng cách viết lại $a_{n}$ trên một mẫu số chung, chúng tôi nhận được $a_{n}=\frac{3^{n}+2^{n}}{6^{n}}$ và vì thế
$$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{2^{n+1}+3^{n+1}}{6(2^{n}+3^{n})}.$$
Chia tử số và mẫu số cho $3^{n+1}$ chúng tôi đến $$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(\frac{2}{3})^{n+1}+1}{2((\frac{2}{3})^{n}+1)}.$$ Bây giờ kể từ $$(\frac{2}{3})^{n},(\frac{2}{3})^{n+1}\to 0 \ \text{as} \ n \to \infty$$ chúng tôi hiểu điều đó $$\lim \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim \frac{(\frac{2}{3})^{n+1}+1}{2((\frac{2}{3})^{n}+1)}=\frac{1}{2}.$$ Bởi vì $\lim \sup x_{n} = \lim x_{n}$ cho một trình tự $x_{n}$ cái nào hội tụ, chúng ta có thể suy ra rằng $$\lim_{n\to\infty} \sup \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{2}$$.