Ý nghĩa hệ số DFT?
Họ là ai? Cách hợp lý để giải thích các hệ số (và cách nào không)? Để đặt ra các chi tiết cụ thể:
- Hệ số DFT mô tả các tần số có trong tín hiệu
- Chúng mô tả các tần số hình sin của nguồn
Một trong hai điều trên có đúng không?
Trả lời
Về cơ bản, DFT là về việc điều chỉnh một tập hợp các hàm cơ sở với một tập dữ liệu được lấy mẫu nhất định. Các hàm cơ sở là tất cả các hàm hình sin, được biểu thị dưới dạng hàm mũ phức với một số mũ thuần túy tưởng tượng. Sử dụng quy ước tỷ lệ phổ biến nhất, mỗi hàm cơ sở, không có hệ số tỷ lệ, là:
$$ g_k[n] \triangleq \tfrac1N e^{j \omega_k n} $$
Đối với DFT:
$$ \omega_k = \frac{2 \pi k}{N} $$
và các hàm cơ bản cộng lại thành
$$\begin{align} x[n] &= \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] \ g_k[n]\\ \\ &= \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] \ \tfrac1N e^{j \omega_k n} \\ \\ &= \tfrac1N \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] \ e^{j \frac{2 \pi k}{N} n} \\ \end{align}$$
Thật dễ dàng để giải quyết các hệ số:
$$\begin{align} X[k] &= \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] \ e^{ -j \frac{2 \pi k}{N} n} \\ \end{align}$$
Cập nhật: Trong phiên bản trước của câu trả lời này, tôi đã bị mắc kẹt trong biểu thức $e^{j\omega t}$không thể được gọi là "hình sin", (và bây giờ có thể thú vị bắt đầu thấy hai mặt của nó có thể như thế nào hoặc không thể là nhờ vào nhận xét của RBJ; tùy thuộc vào định nghĩa, tôi không thể tìm thấy nguồn nhất quán cho). Sau đó tôi đã xem xét việc hỏi như một câu hỏi riêng về chủ đề đó cụ thể, nhưng bây giờ cảm thấy nó có thể không trả lời được-- nếu ai đó nghĩ khác, vui lòng bình luận và tôi sẽ tạo câu hỏi để có câu trả lời rõ ràng. Nếu không, tôi đã chuyển suy nghĩ của mình về điều đó xuống đáy để không làm chùn bước câu trả lời này. Và bất kể điều gì ở trên, tôi đánh giá cao sự rõ ràng của việc đề cập đến$e^{j\omega t}$ như một "hình sin phức tạp" và không có vấn đề gì với điều đó.
Để rõ ràng hơn, hệ số DFT KHÔNG cung cấp biên độ và pha của các thành phần hình sin thực của tín hiệu gốc trừ khi bản thân tín hiệu là thực, mà cung cấp cho biên độ và pha của các thành phần tần số hàm mũ được chia tỷ lệ bằng $N$, được đưa ra dưới dạng $c_ke^{j\omega_k n}$ và được gọi là "hình sin phức tạp".
Tổng của cấp số nhân phức có trọng số trực tiếp từ công thức DFT nghịch đảo như được đưa ra dưới đây:
$$x[n] = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{j \omega_k n}$$
Mỗi nơi $X[k]$ được đưa ra là:
$$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j \omega_k n}$$
Hiển thị cách mỗi mẫu được khôi phục dưới dạng tổng của tất cả các thành phần tần số có trọng số thích hợp và theo từng giai đoạn ở dạng $e^{j \omega_k n}$.
Biểu thức tổng quát $Ae^{j\phi}$ là một phasor với độ lớn $A$ và góc $\phi$. Do đó mọi hệ số trong DFT là một số phức đại diện cho độ lớn và pha bắt đầu của một phasor phức theo thời gian quay theo bội số nguyên của tần số cơ bản, được cho bởi nghịch đảo của tổng khoảng thời gian của miền thời gian dạng sóng (tương tự như mở rộng Dòng Fourier theo thời gian liên tục).
Nói theo một cách khác, DFT nghịch đảo tái tạo lại bất kỳ chuỗi miền thời gian tùy ý nào của các mẫu cả thực và phức từ một tập hợp các hàm cơ sở có dạng $e^{j\omega_k n}$, và DFT ánh xạ bất kỳ chuỗi mẫu miền thời gian tùy ý nào cả thực và phức tạp vào các thành phần của các hàm cơ sở đó (cho biết mỗi hàm cơ sở được chứa trong tín hiệu miền thời gian và mối quan hệ pha của nó với tất cả các thành phần khác).
Để cung cấp ý nghĩa trực quan này, với OP được làm rõ thêm trong các nhận xét là mong muốn, hãy xem xét điều này: Chúng ta có thể chọn bất kỳ $N$mẫu xuyên suốt một mặt phẳng phức tạp đại diện cho một dạng sóng miền thời gian phức tạp rời rạc, sao cho chúng ta trình tự lần lượt qua từng mẫu đó. DFT đáng kinh ngạc sẽ trả lại cho chúng ta độ lớn và giai đoạn bắt đầu cho$N$ vectơ, với mỗi vectơ quay một số nguyên chu kỳ bắt đầu bằng 0 (không quay) lên đến $N-1$ chu kỳ xung quanh vòng tròn đơn vị, sao cho nếu chúng ta thêm tất cả các phasors quay này (và chia cho $N$), điểm cuối của sự liên kết hình học quay này sẽ đi qua mọi mẫu miền thời gian chính xác vào đúng thời điểm.
Để hình dung ngay điều này, hãy xem xét trường hợp đơn giản nhất của IDFT 2 điểm sẽ dẫn đến
$$x[n] = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{j \omega_k n} = \frac{X_0}{2}e^{j0}+\frac{X_1}{2}e^{j\omega_1 n}$$
Ở đâu $\omega_1$ là 1 vòng quay và được mô tả bằng hình ảnh sau.
Cân nhắc nếu chúng tôi chọn làm mẫu miền thời gian $[1,0]$: Kết quả DFT là $[1,1]$ đại diện cho một phasor của cường độ $1$ và góc $0$ không xoay, được thêm vào một phasor của cường độ $1$ quay một chu kỳ (giống như được mô tả trong hình trên), vì vậy tại cả hai mẫu cùng lúc, hình trên sẽ ở $[2,0]$và sau khi chia cho $N$ là trình tự ban đầu của chúng tôi.
Cân nhắc nếu chúng tôi chọn làm mẫu miền thời gian $[1,1]$: Kết quả DFT là $[2,0]$ đại diện cho một phasor của cường độ $2$ và góc $0$ không xoay, được thêm vào một phasor của cường độ $0$, vì vậy ở cả hai mẫu trong thời gian kết quả sẽ là $[2,2]$và sau khi chia cho $N$ là trình tự ban đầu của chúng tôi.
Cuối cùng, hãy cân nhắc nếu chúng tôi chọn làm mẫu miền thời gian $[1+j1,-1+j1]$: Kết quả DFT là $[2j, 2]$ đại diện cho một phasor của cường độ $2$ và góc $\pi/2$ không xoay, được thêm vào một phasor của cường độ $2$ và góc $0$ xoay một vòng đệm (như được mô tả trong hình bên dưới), vì vậy tại cả hai mẫu cùng lúc, kết quả sẽ là $[2+j2, -2+j2]$và sau khi chia cho $N$ là trình tự ban đầu của chúng tôi.
Sidetrack (và có lẽ sẽ được đăng dưới dạng một câu hỏi khác nếu tồn tại một câu trả lời rõ ràng và không tầm thường):
Là $e^{j\omega t}$ hình sin?
Tôi luôn coi nó KHÔNG phải là hình sin, giới hạn quan điểm của tôi về hình sin như đại diện cho một sóng sin và lưu ý độ lớn của $e^{j\omega t}$là hằng số so với thời gian, và bao gồm hai hình sin trong mối quan hệ vuông góc. RBJ phản đối trong các bình luận, và ném một số toán học vào tôi khiến tôi phải cân nhắc ngược lại- nhưng vẫn tò mò liệu điều này có được giải quyết chung hay không hay một mục tranh luận vẫn chưa tìm ra định nghĩa rõ ràng và được chấp nhận chung về "hình sin" - điều đó có tồn tại không ?
Ví dụ, Wolfram định nghĩa hình sin là một đường cong có hình dạng của sóng sin, cụ thể có dạng:
$$f(x) = a\sin(\omega x + c) \label{1} \tag{1}$$
https://mathworld.wolfram.com/Sinusoid.html
Ủng hộ lập luận ban đầu của tôi (hoặc tôi nghĩ vậy).
Tuy nhiên, như RBJ đã chỉ ra mối quan hệ chung của $A\cos(\theta) + B\sin(\theta)$ như dưới đây cho phép $A$ và $B$ phức tạp:
$$A\cos(\theta) + B\sin(\theta) = \sqrt{A^2+B^2}\cos(\theta + \gamma) \label{2} \tag{2}$$
với $\gamma = \arg(A-jB)$
Khi nào $B = jA$ ở trên sẽ dẫn đến:
$$A\cos(\theta) + jA\sin(\theta) = Ae^{j\theta}$$
tuy nhiên, sử dụng mối quan hệ tổng kết ở trên dẫn đến $0$:
$$ = \sqrt{A^2 - A^2}\cos(\theta + \arg(2A))$$
Vì vậy, tôi đã sẵn sàng kết luận rằng $\ref{1}$ và $\ref{2}$ đã giải quyết cho tôi, với điều kiện là hai dạng đủ giống nhau hoặc có thể được tạo thành như vậy với một giai đoạn đơn giản được thêm vào, nhưng khi tôi cho thấy mối quan hệ sau đó không hỗ trợ trường hợp $e^{j\theta}$ (kết quả bằng không trừ khi tôi mắc một lỗi đơn giản).
[Nếu chúng tôi làm $B = -jA$ chúng ta có thể tiến hành một giải pháp cho $e^{-j\theta}$, nhưng tôi cũng muốn giải quyết trường hợp trên]
(Tôi đã hỏi câu hỏi này ở đây: https://math.stackexchange.com/questions/3836769/a-cos-theta-b-sin-theta-for-complex-a-b)
Dẫn xuất thêm của $A\cos(\theta) + B\sin(\theta)$ để hiểu điều gì xảy ra khi $A$ và $B$ không có thật:
$$A\cos(\theta) + B\sin(\theta)$$
$$= \frac{A}{2}e^{j\theta} + \frac{A}{2}e^{-j\theta} + \frac{B}{2j}e^{j\theta} - \frac{B}{2j}e^{-j\theta}$$ $$= \frac{A}{2}e^{j\theta} + \frac{A}{2}e^{-j\theta} - \frac{jB}{2}e^{j\theta} + \frac{jB}{2}e^{-j\theta}$$
Tại thời điểm này, hình học từ mô tả đồ họa của điều này cho thấy giải pháp được đơn giản hóa cho điều này khi A và B là thực, dẫn đến kết quả thực của một sóng sin đơn với sự dịch chuyển pha:
Dẫn đến danh tính đã biết:
$$A\cos(\theta) + B\sin(\theta) = \sqrt{A^2+B^2}\cos(\theta - \gamma)$$
Ở đâu $\gamma = \tan^{-1}(B/A)$
Đó rõ ràng là một hàm hình sin. Nhưng hãy xem xét điều gì sẽ xảy ra khi$A$ là có thật và $B$ là tưởng tượng, điều này sẽ dẫn đến $jB$ là thực, căn chỉnh với một trong các phasors một cách cộng và trừ cho cái kia:
Cái nào là $$\frac{A+jB}{2}\cos(\theta) - jBe^{j\theta}$$
Câu hỏi của tôi là nếu kết quả này được coi là hình sin, và nếu có thì định nghĩa nào về hình sin được sử dụng?