Bản đồ giữa các đối tượng colimit
Để cho $\lbrace A_i \rbrace_{i\in I}$ và $\lbrace B_j \rbrace_{j\in J}$ là hai sơ đồ trong một danh mục $\mathcal{C}$. Để cho$A=\text{colim}_{i\in I} A_i$ và $B= \text{colim}_{j\in J} B_j$. Đưa ra hai bản đồ$f,g: A\rightarrow B$, giả sử rằng coequaliser $C$ tồn tại, có thể $C$ được trình bày dưới dạng colimit của một sơ đồ bao gồm các đối tượng $A_i$ và $B_j$?
Trả lời
Đó là một phỏng đoán đầy cám dỗ nhưng sai lầm! Hãy để tất cả$A_i$ và $B_i$ là bản sao của $\mathbb{Z}$ trong danh mục $\text{Ab}$của nhóm abel và để cả hai colimit là sản phẩm đồng loại. Sau đó, mọi nhóm abelian xuất hiện dưới dạng coequalizer của một cặp bản đồ giữa các sản phẩm phụ như vậy (điều này nói chính xác rằng mọi nhóm abelian đều có một bản trình bày) nhưng không phải mọi nhóm abelian đều xuất hiện dưới dạng colimit của các bản sao của$\mathbb{Z}$. Tôi đã hỏi chính xác câu hỏi này trên MathOverflow một thời gian trước và nhận được một câu trả lời phủ định rất nhiều thông tin.
Hãy để tôi thay đổi ký hiệu. Để cho$X : \mathcal{I} \to \mathcal{C}$ và $Y : \mathcal{J} \to \mathcal{C}$ hãy là người vui vẻ, hãy $\mathcal{D}$ là danh mục con đầy đủ của $\mathcal{C}$ bao trùm bởi những hình ảnh của $X : \mathcal{I} \to \mathcal{C}$ và $Y : \mathcal{J} \to \mathcal{C}$, và để $\bar{X} = \varinjlim_\mathcal{I} h_X$ và $\bar{Y} = \varinjlim_\mathcal{J} h_Y$ trong $[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$, nơi chúng tôi xác định $h_T (S) = \mathcal{C} (S, T)$. Sau đó,$$\textstyle [\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}](\bar{X}, \bar{Y}) \cong \varprojlim_\mathcal{I} \varinjlim_\mathcal{J} \mathcal{C}(X, Y)$$ vì vậy một sự biến hình $f : \bar{X} \to \bar{Y}$ có thể được phân hủy thành một họ các hình thái $X (i) \to Y (j_i)$ được lập chỉ mục bởi $i \in \operatorname{ob} \mathcal{I}$, modulo một quan hệ tương đương nhất định. Mặt khác, ngay cả khi$X$ và $Y$ có colimit trong $\mathcal{C}$, tốt nhất chúng ta chỉ có thể nói $$\textstyle \mathcal{C} \left( \varinjlim_\mathcal{I} X, \varinjlim_\mathcal{J} Y \right) \cong \varprojlim_\mathcal{I} \mathcal{C} \left( X, \varinjlim_\mathcal{J} Y \right)$$ và mặc dù có một bản đồ so sánh chính tắc $$\textstyle \varprojlim_\mathcal{I} \varinjlim_\mathcal{J} \mathcal{C}(X, Y) \to \varprojlim_\mathcal{I} \mathcal{C} \left( X, \varinjlim_\mathcal{J} Y \right)$$ nó thường không phải là một sự phản đối.
Nếu - đây là một if lớn - cặp song song$\varinjlim_\mathcal{I} X \rightrightarrows \varinjlim_\mathcal{J} Y$ trong $\mathcal{C}$ bạn quan tâm có thể được xem xét thông qua bản đồ so sánh này, sau đó coequaliser của họ là một colimit của một sơ đồ được xây dựng từ $X$ và $Y$.
Thật vậy, hãy $f_0, f_1 : \bar{X} \to \bar{Y}$ được biến hình trong $[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$. Sau đó, chúng tôi có thể hình thành bộ cộng tác$\bar{Z}$ trong $[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$. Có một sơ đồ chuẩn$R : \textbf{El} (\bar{Z}) \to \mathcal{D}$ colimit của ai $[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$ Là $\bar{Z}$. Rõ ràng,$\textbf{El} (\bar{Z})$ là danh mục sau:
- Các đối tượng trong $\textbf{El} (\bar{Z})$ là cặp $(D, z)$ Ở đâu $D$ là một đối tượng trong $\mathcal{D}$ và $z$ là một phần tử của $\bar{Z} (C)$.
- Các hình thái $(D, z) \to (D', z')$ trong $\mathcal{K}$ là những hình thái $g : D \to D'$ trong $\mathcal{D}$ như vậy mà $z' \cdot g = z$.
- Thành phần được kế thừa từ $\mathcal{D}$.
Có một dự báo rõ ràng $R : \textbf{El} (\bar{Z}) \to \mathcal{D}$ và thật đơn giản để kiểm tra điều đó $\bar{Z} \cong \varinjlim_{\textbf{El} (\bar{Z})} h_R$. Tôi khẳng định:$\varinjlim_{\textbf{El} (\bar{Z})} R$ là coequaliser của $\varinjlim_\mathcal{I} X \rightrightarrows \varinjlim_\mathcal{J} Y$ trong $\mathcal{C}$, theo nghĩa mạnh rằng $\varinjlim_{\textbf{El} (\bar{Z})} R$ tồn tại trong $\mathcal{C}$ nếu và chỉ khi bộ coequaliser tồn tại trong $\mathcal{C}$ và chúng là đồng phân.
Để cho $\bar{\mathcal{D}}$ là danh mục con đầy đủ của $\mathcal{C}$ kéo dài bởi các đối tượng $C$ trong $\mathcal{C}$ như vậy, cho mọi đối tượng $T$ trong $\mathcal{C}$, bản đồ chuẩn (do hạn chế của nhúng Yoneda) $$\mathcal{C} (C, T) \to [\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}] (h_C, h_T)$$là một từ chối. Bổ đề Yoneda thông thường cho chúng ta biết$\mathcal{D} \subseteq \bar{\mathcal{D}}$, nhưng, đối với bất kỳ sơ đồ nào $Z : \mathcal{K} \to \bar{\mathcal{D}}$, $$\textstyle \varprojlim_\mathcal{K} \mathcal{C} \left( Z, T \right) \cong \varprojlim_\mathcal{K} [\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}] \left( h_Z, h_T \right) \cong [\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}] \left( \varinjlim_\mathcal{K} h_Z, h_T \right)$$ tự nhiên trong $T$, do đó, nếu $\varinjlim_\mathcal{K} Z$ tồn tại trong $\mathcal{C}$ sau đó nó cũng ở trong $\bar{\mathcal{D}}$ - Nói ngắn gọn, $\bar{\mathcal{D}}$ bị đóng bởi các colimit tồn tại trong $\mathcal{C}$. Đặc biệt,$\varinjlim_\mathcal{I} X$ và $\varinjlim_\mathcal{J} Y$ đang ở $\bar{\mathcal{D}}$, và nếu cặp song song $\varinjlim_\mathcal{I} X \rightrightarrows \varinjlim_\mathcal{J} Y$ trong $\mathcal{C}$ có một coequaliser hơn coequaliser cũng ở $\bar{\mathcal{D}}$. Về cơ bản, định nghĩa của$\bar{\mathcal{D}}$đảm bảo rằng bất cứ điều gì có thể được chứng minh về các colimit lặp lại trong$[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$ cũng đúng trong $\mathcal{C}$, miễn là tất cả các colimit liên quan có thể được nhận ra trong $\bar{\mathcal{D}}$. Như vậy, nếu cặp song song$\varinjlim_\mathcal{I} X \rightrightarrows \varinjlim_\mathcal{J} Y$ trong $\mathcal{C}$ có thể được nâng lên một cặp song song $\bar{X} \rightrightarrows \bar{Y}$ trong $[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$, sau đó coequaliser trong $\mathcal{C}$ có thể được xác định với colimit trong $\mathcal{C}$ của một sơ đồ trong $\mathcal{D}$.
Có thể đáng nhận xét rằng đại diện Yoneda $\bar{\mathcal{D}} \to [\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$ có thể không hoàn toàn trung thành cũng như không bảo tồn colimit ... nhưng đây chỉ là lời cảnh báo trong đoạn đầu tiên.