Chỉ $\mathbb{Q}( \sqrt{5},\sqrt{7} ) = \mathbb{Q}( \sqrt{5} + \sqrt{7} )$

Question

Vấn đề :

1. tìm đa thức tối thiểu của $\sqrt{5} + \sqrt{7}$
2. mức độ là gì $ [ \mathbb{Q}( \sqrt{5},\sqrt{7} ) : \mathbb{Q} ] $
3. kết luận $\mathbb{Q}( \sqrt{5},\sqrt{7} ) = \mathbb{Q}( \sqrt{5} + \sqrt{7} )$

Câu hỏi của tôi và công việc của tôi

Tôi đã tìm thấy 1., tôi thấy rằng đa thức tối thiểu của $\sqrt{5} + \sqrt{7}$ Là $P : X \mapsto X^4 - 24X^2 + 4 $

tôi biết điều đó $\deg P = [ \mathbb{Q}( \sqrt{5} + \sqrt{7} ): \mathbb{Q} ]$ Ở đâu $P$là tối thiểu. đa thức của$\sqrt{5} + \sqrt{7}$ kết thúc $\mathbb{Q}$. Nhưng, làm sao tôi có thể tính toán được$ [ \mathbb{Q}( \sqrt{5},\sqrt{7} ) : \mathbb{Q} ] $ với 1.?

Tôi đã tìm thấy 3., bằng cách hiển thị từng bao gồm, mà không sử dụng 2 ...

Cảm ơn bạn

Answer 1

Michael Rozenberg đã đưa ra một bằng chứng tốt trực tiếp (tức là hai bao gồm) rằng$\Bbb Q(\sqrt{5}+\sqrt{7}) = \Bbb Q(\sqrt{5},\sqrt{7})$, mà không cần a hoặc b.

Bài tập của bạn như một bằng chứng thay thế. Đầu tiên hãy tìm một đa thức tối thiểu cho$\alpha = \sqrt{5}+\sqrt{7}$. Lưu ý rằng$$\alpha^2 = 5+7 + 2\sqrt{35}$$ vì thế

$$\alpha^2 - 12 = \sqrt{140}$$ và bình phương làm mờ căn bậc hai cuối cùng và

$$(\alpha^2 - 12)^2 =140$$ đơn giản hóa thành

$$\alpha^4 - 24\alpha^2 + 4 = 0$$

và vì thế $p(x)=x^4 - 24x^2 + 4$ có $\sqrt{5} + \sqrt{7}$làm gốc. Nếu$p(x)$ là không thể thay đổi được (Eisenstein không áp dụng như $p=2$ là ứng cử viên duy nhất và không thành công) chúng tôi biết nó là một đa thức tối thiểu cho $\alpha$. Chúng tôi sẽ để nó ngay bây giờ, chúng tôi có$p(x)$ cái đó có $\alpha$ như một con số không.

Mức độ $$[\Bbb Q(\sqrt{5},\sqrt{7}): \Bbb Q] = [\Bbb Q(\sqrt{5},\sqrt{7}): \Bbb Q(\sqrt{7})] \cdot [\Bbb Q(\sqrt{7}): \Bbb Q] = 2\times 2 = 4$$

theo công thức độ chuẩn. Và$\alpha \in \Bbb Q(\sqrt{5},\sqrt{7})$ tầm thường và vì vậy mức độ $\alpha$ chia mức độ của phần mở rộng mà nó ở trong $4$. Vì vậy, đa thức tối giản$m(x)$ của $\alpha$ (luôn tồn tại) có mức độ $4$ và theo sự kiện tiêu chuẩn $m(x) | p(x)$. Vì thế$m(x)$ có phân chia mức độ $4$ và $p$ có bằng cấp $4$ và cả hai đều là đạo đức, vì vậy nó theo sau $p(x)=m(x)$ và thực sự $p(x)$ phải là đa thức tối giản.

c. sau đó như sau$\Bbb Q(\alpha)$ là một phần mở rộng đại số của $\Bbb Q$ mức độ $4$ (bởi vì $p$) bên trong phần mở rộng trường $\Bbb Q(\sqrt{5},\sqrt{7})$ mức độ $4$. Đại số tuyến tính cơ bản ..

Answer 2

$$\sqrt7-\sqrt{5}=\frac{2}{\sqrt7+\sqrt5}\in\mathbb Q(\sqrt7+\sqrt5).$$ Vì vậy, $$\sqrt7=\frac{\sqrt7+\sqrt5+\sqrt7-\sqrt5}{2}\in\mathbb Q(\sqrt7+\sqrt5)$$ và $$\sqrt5\in\mathbb Q(\sqrt7+\sqrt5).$$ Ngoài ra, rõ ràng là $$\mathbb Q(\sqrt7+\sqrt5)\subset\mathbb Q(\sqrt7,\sqrt5)$$

Answer 3

Một khi bạn biết rằng $[ \mathbb{Q}( \sqrt{5},\sqrt{7} ) : \mathbb{Q} ]=4$, có cơ sở $\{1,\sqrt{5},\sqrt{7},\sqrt{35}\}$, bạn có thể tiến hành như sau mà không cần tìm đa thức tối thiểu của $\sqrt{5}+\sqrt{7}$.

Để cho $\alpha=\sqrt{5}+\sqrt{7}$. Sau đó$$ \begin{pmatrix} 1 \\ \alpha \\ \alpha^2 \\ \alpha^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 12 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 26 & 22 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{5} \\ \sqrt{7} \\ \sqrt{35} \end{pmatrix} $$Ma trận có định thức khác không và do đó là khả nghịch. Vì thế,$\{1,\alpha,\alpha^2,\alpha^3\}$ cũng là một cơ sở và do đó tạo ra cùng một không gian, tức là $\mathbb{Q}( \sqrt{5},\sqrt{7} ) = \mathbb{Q}( \sqrt{5} + \sqrt{7} )$.