Cho thấy $V_{\lambda'} \cong V_\lambda \otimes U$ Ở đâu $V_\lambda$ là mô-đun Specht và $U$ là dấu hiệu đại diện cho $S_n$.

Question

Đây là Bài tập 4.4 (c) trong Lý thuyết Biểu diễn Fulton / Harris. Hầu hết các định nghĩa có thể được tìm thấy ở đây:https://en.wikipedia.org/wiki/Young_symmetrizer. Để cho$\lambda \vdash n$. Mô-đun Specht$V_\lambda$ là đại diện không thể giải thích của $S_n$ được xác định qua hình ảnh $\mathbb{C}[S_n]c_\lambda$ của $c_\lambda$ Là $\mathbb{C}[S_n]$ Ở đâu $c_\lambda$là bộ đối xứng Young. Tôi muốn thể hiện điều đó$$ V_{\lambda'} \cong V_\lambda \otimes U $$ Ở đâu $U$ là đại diện dấu hiệu và $\lambda'$ là phân vùng của $n$ liên hợp với $\lambda$. Là một mô-đun con của đại số nhóm$\mathbb{C}[S_n]$, chúng ta có $U = \mathbb{C} \sum_{\pi \in S_n} sgn(\pi) \pi$.

Bất cứ ai có thể giúp tôi hiển thị điều này? Tôi cần xác định một$\mathbb{C}[S_n]$mô-đun isomorphism nhưng tôi không thực sự hiểu các phần tử của mô-đun Specht trông như thế nào. Tôi đã thấy một bằng chứng sử dụng polytabloids, ví dụ như trong James, nhưng tôi đang cố gắng hiểu cấu trúc của các mô-đun Specht như các mô-đun con của đại số nhóm.

Answer 1

Để cho $\Phi:\mathbb{C}[S_n]\rightarrow \mathbb{C}[S_n]$ là bản đồ tuyến tính gửi một hoán vị $\sigma$ đến ${\rm sgn}(\sigma)\ \sigma$. Nó là một tự động hóa đại số của$\mathbb{C}[S_n]$ ánh xạ mô-đun Specht cho $\lambda$ để chuyển đổi $\lambda'$. Gợi ý: Đây có phải là bản đồ$S_n$-có yêu cầu? Nếu không, làm thế nào bạn có thể sửa chữa cho điều đó?

Answer 2

Theo gợi ý của Abdelmalek Abdesselam, trước tiên hãy xác định $\Phi:\mathbb{C}[S_n] \to \mathbb{C}[S_n]$ thông qua $\sigma \mapsto \text{sgn}(\sigma)\sigma$và phần mở rộng tuyến tính. Nó là một phép tự động hóa đại số ánh xạ$V_\lambda \to V_{\lambda'}$. Cho tất cả$\pi,\sigma \in S_n$, chúng ta có \begin{align*}\Phi(\pi\sigma) & = \text{sgn}(\pi) \pi \text{sgn}(\sigma) \sigma\\ & = \text{sgn}(\pi)\Phi(\sigma). \end{align*}

Bây giờ xác định một bản đồ $\rho:V_\lambda \otimes U \to V_{\lambda'}$ thông qua $\tau c_\lambda \otimes u \mapsto \Phi(\tau c_\lambda)u$và phần mở rộng tuyến tính. Tên miền chính xác vì$\Phi(\tau c_\lambda) \in V_{\lambda'}$. Bản đồ này là$S_n$-equivariant kể từ cho bất kỳ $\pi,\tau \in S_n$ và $u\in U$chúng ta có \ begin {align *} \ rho (\ pi (\ tau c_ \ lambda \ otimes u)) & = \ rho (\ pi \ tau c_ \ lambda \ otimes \ pi u) & (\ text {def. of$S_n$-action trên sản phẩm tensor bên trong}) \\ & = \ Phi (\ pi \ tau c_ \ lambda) \ pi u \\ & = \ Phi (\ pi \ tau c_ \ lambda) \ text {sgn} (\ pi) u & (\ text {kể từ khi $U$ là biểu diễn dấu}) \\ & = \ text {sgn} (\ pi) \ pi \ Phi (\ tau c_ \ lambda) \ text {sgn} (\ pi) u & (\ text {def. of $\Phi$}) \\ & = \ pi \ Phi (\ tau c_ \ lambda) u \\ & = \ pi \ rho (\ tau c_ \ lambda \ otimes u). \ end {align *}