Đạo hàm riêng của hàm gradient

Question

Tôi cảm thấy xấu hổ khi hỏi câu hỏi cơ bản này nhưng vẫn còn bối rối.

Chức năng đã cho $f \in C^2$, cho thấy $g:=\text{grad} \, f$ là một $C^1$ chức năng.

Tôi hiểu rằng chúng ta phải chứng minh rằng các đạo hàm riêng bậc 1 của $g$ tồn tại và liên tục, nhưng kể từ khi $g : U \to \mathbb{R}^n$ là một hàm có giá trị vectơ .. Làm cách nào để tìm ra các đạo hàm riêng bậc nhất?

Chỉnh sửa: Tôi đã cố gắng áp dụng quy tắc chuỗi và suy ra rằng $$D_1(g\circ f)(x)=D_1 D_{1}^2f + \dots + D_1 D_{n}^2f$$ và kể từ khi $f$ là một $C^2$ hàm, đạo hàm bậc hai của $f$ liên tục và do đó là đạo hàm bậc nhất của $g$cũng liên tục. Tôi có đang đi đúng đường không?

Answer 1

Thứ nhất, $g$ có thể phân biệt chính xác khi các thành phần của nó, vì vậy chúng tôi có thể xem xét từng thành phần của $g$riêng lẻ. Hãy xem xét$i$thành phần thứ $$ g_i = \frac{\partial f}{\partial x_i}. $$ Hiện nay $f$có thể phân biệt hai lần, do đó chúng ta có thể phân biệt bên phải và bằng cách mở rộng bên tay trái. Biểu thức cho đạo hàm của$g_i$ Là $$ \frac{\partial g_i}{\partial x_j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} $$