Làm rõ về cơ chế ANOVA
Trang web này giải thích tỷ lệ ANOVA và F như sau:
"ANOVA phân vùng sự thay đổi giữa tất cả các giá trị thành một thành phần là do sự thay đổi giữa các phương tiện của nhóm (do cách xử lý) và một thành phần khác là do sự thay đổi trong các nhóm (còn gọi là sự thay đổi còn lại) ... -quares được kết hợp với một số bậc tự do nhất định ... và bình phương trung bình (MS) được tính bằng cách chia tổng bình phương cho số bậc tự do thích hợp ... Tỷ lệ F là tỷ lệ của hai giá trị bình phương trung bình ... "
Câu hỏi của tôi là:
Làm thế nào ANOVA có thể biết để phân chia biến thể thành 2 thành phần riêng biệt (do xử lý và do biến thể vốn có)?
Nó đề cập đến hai bình phương trung bình nào (Tỉ lệ F là tỉ lệ của hai giá trị bình phương trung bình). Chúng có phải là bình phương do xử lý và do sự biến đổi cố hữu không?
Cảm ơn trước.
Trả lời
Hãy xem xét dữ liệu sau đây được mô phỏng trong R theo mô hình cho ANOVA một nhân tố với ba cấp nhân tố và mười lần lặp lại ở mỗi cấp. Mỗi cấp độ có phương sai$\sigma^2 = 3^2 = 9.$
set.seed(2020)
x1 = rnorm(10, 20, 3)
x2 = rnorm(10, 21, 3)
x3 = rnorm(10, 22, 4)
x = c(x1,x2,x3)
gp = as.factor(rep(1:3, each=10))
Dưới đây là một biểu đồ dải trong R cho thấy mười quan sát trong mỗi nhóm.
stripchart(x ~ gp, pch="|", ylim=c(.5,3.5))
Bảng ANOVA được đưa ra dưới đây:
anova(lm(x~gp))
Analysis of Variance Table
Response: x
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
gp 2 140.48 70.240 4.463 0.02115 *
Residuals 27 424.93 15.738
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
MSA = $15.7382$là giá trị trung bình của các phương sai trong mỗi nhóm trong ba nhóm. Đây là một cách để ước tính$\sigma^2.$[Đừng bận tâm rằng nó không phải là một ước tính rất tốt; với tổng cộng chỉ 30 quan sát, chúng tôi không thể mong đợi một ước tính thực sự gần đúng.]
mean(c(var(x1),var(x2),var(x3)))
[1] 15.7382
Nếu cả ba nhóm có cùng giá trị trung bình $\mu$ (giả thiết của giả thuyết rỗng), thì nhóm ba có nghĩa là $(\bar X_1,\bar X_2, \bar X_3)$ mỗi sẽ có một phân phối chuẩn với trung bình $\mu$ và phương sai $\sigma^2/10.$ Vì thế nếu $H_0$ là đúng, chúng tôi cũng có thể ước tính $\sigma^2$ như là $10$ nhân với phương sai của 'mẫu' ba $\bar X_i$S:
10*var(c(mean(x1),mean(x2),mean(x3)))
[1] 70.23971
Do đó MS (Nhóm) = $70.2397.$ [Bởi vì $H_0$là sai, ước tính này quá lớn; ba phương tiện cũng thể hiện sự khác biệt giữa các nhóm.]
Vì vậy, cách ANOVA "biết" làm thế nào để có được hai phương sai là do hai thủ tục chúng ta vừa thấy.
Nếu $H_0$ là đúng, hai ước tính phương sai có xu hướng giống nhau để tỷ lệ F sẽ có xu hướng $1.$ Tỷ lệ F càng lớn ở trên $1,$ bằng chứng chống lại càng mạnh $H_0.$ Trong trường hợp của chúng ta $F = 4.463 > 1.$ Có tính đến bậc tự do của tử số và mẫu số, $4.463$ được đánh giá là lớn hơn "đáng kể" so với $1.$
Ước tính phương sai trong tử số của $F$ liên quan đến cả hai $\sigma^2$ và sự khác biệt về dân số nhóm có nghĩa là $\mu_.$ Ước tính phương sai ở mẫu số chỉ liên quan đến $\sigma^2.$
Đây là một biểu đồ của hàm mật độ của phân phối $\mathsf{F}(2, 27).$ Khu vực (nhỏ) dưới đường cong mật độ ở bên phải của đường chấm dọc là giá trị P $0.02115.$
curve(df(x, 2, 27), 0, 10, lwd=2, ylab="PDF", xlab="F",
main="Density of F(2,27)")
abline(v = 4.463, col="red", lwd=2, lty="dotted")
abline(h=0, col="green2"); abline(v=0, col="green2")