số phức giúp đỡ

Question

Cho các số phức sau: $$ z=1+i\sqrt{3} \qquad w = 0.707 - 0.707i $$ tìm các dạng cacte của các biểu thức sau: $$ z^2 \bar{w}\qquad\text{and}\qquad \frac{z^3}{w^9} $$

Đầu tiên tôi tìm thấy câu trả lời là 1.414 - 1.414i, điều này có chính xác không?

Answer 1

Nếu bạn biết các dạng cực của $z$ và $w$, sau đó việc tính toán trở nên dễ dàng hơn nhiều như đã đề cập trong các bình luận.

Giả sử rằng $z=r_{1}e^{i\theta_{1}}$ và $w=r_{2}e^{i\theta_{2}}$, sau đó

$z^{2}\bar{w}=(r_{1}e^{i\theta_{1}})^{2}(r_{2}e^{-i\theta_{2}})=r_{1}^{2}r_{2}e^{i(2\theta_{1}-\theta_{2})}$ và $\frac{z^{3}}{w^9}=\frac{r_{1}^{3}}{r_{2}^{9}}e^{3i(\theta_{1}-3\theta_{2})}.$

Sau đó, bạn có thể sử dụng công thức của Euler :$re^{i\theta}=r(\cos(\theta)+i\sin(\theta))$ để thể hiện kết quả của bạn trong biểu mẫu $x+iy.$

Bây giờ kể từ $r_{1}=|z|=2$ và $\theta_{1}=\arctan(\frac{\sqrt{3}}{1})=\frac{\pi}{3}$ bạn có nó $z=2e^{i\frac{\pi}{3}}.$ Tương tự $w=r_{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}$ Ở đâu $r_{2}=|w|=\sqrt{(0.707)^2+(0.707)^2}\space(\approx 0.9998489885978).$

Answer 2

Dấu:

Quan sát điều đó $\;0.707\cong\cfrac1{\sqrt2}\approx\cfrac{\sqrt2}2\;$ , do đó

$$w\approx\frac{\sqrt2}2(1-i)$$

Vì vậy, điều đầu tiên là

$$z^2\overline w=(-2+2\sqrt3\,i)\frac1{\sqrt2}(1+i)=\sqrt2(-1+\sqrt3~i)(1+i)=\sqrt2(-1-\sqrt3-(1-\sqrt3)i)=$$

$$=-\sqrt2\left[(1+\sqrt3+(1-\sqrt3)~\right]$$

Tiếp tục từ đây ...

Như đã nhận xét, ở dạng cực dễ dàng hơn. Chọn đối số chuẩn trong [0,2 \ pi); $, chúng ta nhận được:

$$ \; z = 2e ^ {\ pi i / 4} \;, \; \; w = e ^ {3 \ pi i / 4} \ implies \ text {etc.} $$

và vân vân.