Sự thay đổi của số liệu

Question

Tôi đang xem xét dẫn xuất của các phương trình trường Einstein là phương trình Euler-Lagrange của hàm Hilbert. Để làm điều này, hãy bắt đầu với một biến thể$$ g(t) = g+th $$ của chỉ số, ở đâu $h$là một tensor 2 hiệp biến đối xứng. Cho nhỏ$t$, $g(t)$ sẽ không thể đảo ngược (nếu chúng ta giải thích nó như một ma trận), vì vậy sẽ hợp lý khi xem xét các thành phần $g(t)^{ij}$của nghịch đảo. Chúng ta có$$ 0 = \frac{d}{dt}\Big|_0 (g(t)_{ij} \, g(t)^{jk}) = h_{ij} g^{jk} + g_{ij}h^{jk} \quad\Rightarrow \quad h^{lk} = - g^{il} g^{jk} h_{ij}. $$ Câu hỏi của tôi: Chính xác thì các hệ số là gì$h^{lk}$ đại diện?

Tôi luôn nghĩ rằng nếu ai đó có tensor 1 hiệp phương sai $A = A_i dx^i$, sau đó $A^i$ biểu thị các thành phần của tensor 1 đối nghịch $A^\#$(xem đẳng hình âm nhạc ), do$A^i = g^{ij}A_j$. Nhưng trong công thức cho$h^{lk}$ ở trên, chúng tôi cũng có một dấu trừ ở phía trước, theo như tôi có thể thấy các hệ số $h^{lk}$ không thu được bằng cách tăng các chỉ số của $h_{lk}$. Điều đó đang được nói, số liệu không thực sự cố định trong trường hợp này nên các đồng dạng âm nhạc cũng không, điều này có thể là nguồn gốc của sự nhầm lẫn đối với tôi.

Answer 1

Sai lầm của bạn là $$h^{jk} \neq \frac{d}{dt}\bigg|_{t=0} g(t)^{jk}.$$Trong thực tế, $h^{jk}$ được thu được từ việc huy động cả hai chỉ số của$h_{jk}$. Những gì bạn đã thể hiện là$$\frac{d}{dt}\bigg|_{t=0} g(t)^{\ell k} = -g^{i\ell}g^{jk}h_{ij} = - h^{\ell k}.$$Triết lý đằng sau nó là: bạn biết rằng vận tốc ban đầu của đường cong $t\mapsto g(t)$ Là $h$và bạn muốn tính vận tốc ban đầu của các đối tượng hình học khác được liên kết với $g(t)$ về mặt $h$. Vận tốc ban đầu của đường cong hệ số nghịch đảo là$-h$ (cho đến đẳng hình âm nhạc).

Đối phó với các hệ số, bạn đang tính toán trên các nhóm Lie của ma trận. Ở đó, công thức tính đạo hàm của phép nghịch đảo$\iota(A)=A^{-1}$ được đưa ra bởi $d\iota_A(H) = - A^{-1}HA^{-1}$, vì vậy mọi thứ đều ổn (so sánh với $(1/x)'=-1/x^2$và làm cho nó không có tính chất giao hoán; mỗi$A^{-1}$ tương ứng với việc nâng cao một chỉ số).