Tìm định thức của ma trận lớn

Question

Đánh giá $$\det \begin{vmatrix} 1 & 1& \dots &\ldots&1&a \\ 1 & 1& \dots &\ldots&a&1 \\ \vdots & \vdots& \ddots &&\vdots&\vdots \\ \vdots & \vdots&&\ddots&\vdots&\vdots \\ 1 & a& \dots &\ldots&1&1\\ a & 1& \dots &\ldots&1&1 \\ \end{vmatrix}$$

Tôi đã thử mở rộng cofactor và nó dẫn đến $$\det \begin{vmatrix} 1& \dots &\ldots&a&1 \\ \vdots& \ddots &&\vdots&\vdots \\ \vdots&&\ddots&\vdots&\vdots \\ a& \dots &\ldots&1&1\\ 1& \dots &\ldots&1&1 \\ \end{vmatrix} - \det \begin{vmatrix} 1 & \dots &\ldots&a&1 \\ \vdots & \ddots &&\vdots&\vdots \\ \vdots & &\ddots&\vdots&\vdots \\ 1 & \dots &\ldots&1&1\\ a & \dots &\ldots&1&1 \\ \end{vmatrix} + \ldots +(-1)^{n+1} \det \begin{vmatrix} 1 & 1& \dots &\ldots&a \\ \vdots & \vdots& \ddots &&\vdots \\ \vdots & \vdots&&\ddots&\vdots \\ 1 & a& \dots &\ldots&1\\ a & 1& \dots &\ldots&1 \\ \end{vmatrix}$$

Tôi nghĩ rằng, ngoại trừ nhiệm kỳ trước, tất cả các điều khoản sẽ bị hủy bỏ nhau bằng cách nào đó mặc dù nó có thể phụ thuộc vào sự tương đương của $n$. Nếu nó phụ thuộc vào tính chẵn lẻ, khả năng hủy bỏ sẽ ngược lại đối với khai triển đồng hệ số của số hạng cuối cùng, và vì vậy nó xảy ra đối với số hạng cuối cùng của khai triển tiếp theo ...

Tôi không thể tìm hiểu làm thế nào để đối phó với chi nhánh này.

Answer 1

Thêm tất cả các cột vào cột cuối cùng: bạn nhận được $$\det \begin{vmatrix} 1 & 1& \dots &\ldots&1&a \\ 1 & 1& \dots &\ldots&a&1 \\ \vdots & \vdots& \ddots &&\vdots&\vdots \\ \vdots & \vdots&&\ddots&\vdots&\vdots \\ 1 & a& \dots &\ldots&1&1\\ a & 1& \dots &\ldots&1&1 \\ \end{vmatrix} = \det \begin{vmatrix} 1 & 1& \dots &\ldots&1&a+n-1 \\ 1 & 1& \dots &\ldots&a&a+n-1 \\ \vdots & \vdots& \ddots &&\vdots&\vdots \\ \vdots & \vdots&&\ddots&\vdots&\vdots \\ 1 & a& \dots &\ldots&1&a+n-1\\ a & 1& \dots &\ldots&1&a+n-1 \\ \end{vmatrix}$$

Bây giờ hãy trừ dòng đầu tiên khỏi tất cả các dòng khác: $$\det \begin{vmatrix} 1 & 1& \dots &\ldots&1&a+n-1 \\ 1 & 1& \dots &\ldots&a&a+n-1 \\ \vdots & \vdots& \ddots &&\vdots&\vdots \\ \vdots & \vdots&&\ddots&\vdots&\vdots \\ 1 & a& \dots &\ldots&1&a+n-1\\ a & 1& \dots &\ldots&1&a+n-1 \\ \end{vmatrix} = \det \begin{vmatrix} 1 & 1& \dots &\ldots&1&a+n-1 \\ 0 & 0& \dots &\ldots&a-1&0 \\ \vdots & \vdots& \ddots &&\vdots&\vdots \\ \vdots & \vdots&&\ddots&\vdots&\vdots \\ 0 & a-1& \dots &\ldots&0&0\\ a-1 & 0& \dots &\ldots&0&0 \\ \end{vmatrix}$$

Cuối cùng phát triển wrt cột cuối cùng. Bạn có được điều đó$$\det \begin{vmatrix} 1 & 1& \dots &\ldots&1&a \\ 1 & 1& \dots &\ldots&a&1 \\ \vdots & \vdots& \ddots &&\vdots&\vdots \\ \vdots & \vdots&&\ddots&\vdots&\vdots \\ 1 & a& \dots &\ldots&1&1\\ a & 1& \dots &\ldots&1&1 \\ \end{vmatrix} =(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}(a+n-1)(a-1)^{n-1}$$

Answer 2

Đầu tiên, bạn có thể sắp xếp lại các cột cho đến khi $a$s nằm trên đường chéo chính, có thể thay đổi dấu của định thức. Tiếp theo, bạn có thể tính các giá trị riêng của ma trận đó và nhân chúng để tạo ra định thức.

Gợi ý: Nếu bạn thêm bội số của ma trận nhận dạng vào bất kỳ ma trận nào, điều này ảnh hưởng như thế nào đến các giá trị riêng?

Answer 3

Gợi ý: (1) Thêm tất cả các hàng vào hàng đầu tiên. (2) Trích nhân tử chung từ hàng đầu tiên. (3) Trừ hàng đầu tiên với các hàng khác. (4) Phần còn lại phải dễ dàng.