Tìm độ lớn của một số phức

Question

Trong một bài toán vật lý, tôi đã đạt được một biểu thức cho một số phức có dạng như sau:

$$ \frac{e^{i\theta}\left(e^{iP\theta}-1\right)}{e^{i\theta}-1} $$trong đó P là một số hằng số. Tôi muốn biểu diễn số phức này dưới dạng$z = |z|e^{i\alpha}$. Sau hơn một giờ vật lộn để có được nó như vậy và thất bại. Tôi còn thiếu gì ở đây? Nó có liên quan đến rất nhiều đại số khó chịu không?

Answer 1

$$e^{iP\theta}-1 = e^{iP\theta/2}(e^{iP\theta/2}-e^{-iP\theta/2})$$

$$e^{i\theta}-1 = e^{i\theta/2}(e^{i\theta/2}-e^{-i\theta/2})$$

$$ \frac{e^{i\theta}\left(e^{iP\theta}-1\right)}{e^{i\theta}-1}= \frac{e^{i(P+1)\theta/2}(e^{iP\theta/2}-e^{-iP\theta/2})}{e^{i\theta/2}-e^{-i\theta/2}}=\frac{\sin P\theta/2}{\sin \theta/2}e^{i(P+1)\theta/2}$$

Answer 2

$x$ và $y$ chào.

Phương pháp thay thế (chắc chắn là kém hơn nhưng có thể).

Nó được cho rằng $\theta$ là một biến, rằng $P \in \mathbb{R}$, cái đó $[e^{(i\theta)} - 1] \neq 0$ và bạn muốn thể hiện cả hai $|z|$ và $\alpha$ như là một chức năng của $\theta$.

Bộ $x_1 = \{[\cos(P\theta)] - 1]\}$ và thiết lập $y_1 = [\sin P\theta].$

Bộ $x_2 = [\cos \theta]$ và thiết lập $y_2 = [\sin \theta].$

Bộ $x_3 = \{[\cos(\theta)] - 1]\}$ và thiết lập $y_3 = [\sin \theta].$

Hãy nhớ rằng đối với số phức khác 0 $z$ và $w$,
ở đâu$\overline{w}$ biểu thị sự liên hợp phức tạp của $w$, bạn có nó

$$ \frac{z}{w} = \frac{1}{|w|} \times [z \times \overline{w}].$$

Để cho $N$ biểu thị số phức $(x_1 + iy_1) \times (x_2 + iy_2)$.

Để cho $D$ chứng tỏ $(x_3 + iy_3)$.

Sau đó, bạn muốn số phức $z = u + iv$, Ở đâu

$$ z = \frac{N}{D}.$$

Thông suốt, $u$ và $v$ sẽ là chức năng của $\theta$.

Sau đó nó trở nên đơn giản để tính toán $|z| = \sqrt{u^2 + v^2}$ và sau đó

xác định $\alpha$ trong một mô-đun của $2\pi$ lại

$\cos \alpha = \frac{u}{|z|}, ~~ \sin \alpha = \frac{v}{|z|}.$

Đúng là $u$ và $v$cuối cùng sẽ là các biểu thức rất phức tạp trong$\theta$và cố gắng đơn giản hóa biểu thức cho$\alpha$ về mặt $\theta$ sẽ là một cơn ác mộng.

Tuy nhiên, về mặt cung cấp một thuật toán, vẫn chưa rõ mức độ liên quan của những điểm này.