Tính chất sản phẩm chấm

Question

Tôi muốn chứng minh hoặc mâu thuẫn với tuyên bố sau:

Nếu chúng ta lấy hai vectơ $\mathbf{v}_1$ và $\mathbf{v}_2$ trong $\mathbb{R}^{d}$ ($d$ không nhất thiết phải là 2, vì vậy không có bằng chứng hình học) và góc giữa chúng, được xác định bởi $\cos(\alpha_{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2}) = \frac{\mathbf{v}_1^T\mathbf{v}_2}{\Vert \mathbf{v}_1 \Vert \Vert \mathbf{v}_2 \Vert}$ những điều sau đây:

1. Đối với bất kỳ vectơ nào $\mathbf{u}$ st $\text{sgn}(\mathbf{v}_1^T\mathbf{u}) = \text{sgn}(\mathbf{v}_2^T\mathbf{u}) = 1$ nếu chúng ta biểu thị $\tilde{\mathbf{v}}_1 = \mathbf{v}_1+\mathbf{u}$ và $\tilde{\mathbf{v}}_2 = \mathbf{v}_2+\mathbf{u}$ chúng tôi sẽ nhận được $\alpha_{\tilde{\mathbf{v}}_1,\tilde{\mathbf{v}}_2}<\alpha_{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2}$
2. Đối với bất kỳ vectơ nào $\mathbf{u}$ st $\text{sgn}(\mathbf{v}_1^T\mathbf{u}) = \text{sgn}(\mathbf{v}_2^T\mathbf{u}) = -1$ nếu chúng ta biểu thị $\tilde{\mathbf{v}}_1 = \mathbf{v}_1-\mathbf{u}$ và $\tilde{\mathbf{v}}_2 = \mathbf{v}_2-\mathbf{u}$ chúng tôi sẽ nhận được $\alpha_{\tilde{\mathbf{v}}_1,\tilde{\mathbf{v}}_2}<\alpha_{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2}$

Tôi khá tin tưởng vào những điều trên, vì tôi đã chạy rất nhiều mô phỏng số và nó có vẻ đúng, tức là tôi tin rằng tuyên bố cần được chứng minh và không mâu thuẫn.

Tôi đã cố gắng sử dụng định nghĩa đại số của cosine với một số thủ thuật đại số (bất đẳng thức tam giác, v.v.) và nó không hoạt động, giống với bất đẳng thức cosine tổng quát (đối với vectơ).

Answer 1

Cả hai tuyên bố đều sai. Vì chúng tôi có thể có được một yêu cầu từ người kia bằng cách thay thế$u$ bởi $-u$, nó đủ để bác bỏ yêu cầu đầu tiên.

Chọn hai vectơ độc lập tuyến tính $u$ và $v_1$ như vậy mà $v_1^Tu>0$. Để cho$v_2=2v_1$. Sau đó$v_2^Tu>0$ nhưng $$ \alpha_{v_1,v_2}=0<\alpha_{\tilde{v}_1,\tilde{v}_2}. $$ Đối với một ví dụ cụ thể, hãy \begin{aligned} u&=(1,1)^T,\\ v_1&=(1,0)^T,\\ v_2&=(2,0)^T,\\ \tilde{v_1}=u+v_1&=(2,1)^T,\\ \tilde{v_2}=u+v_2&=(3,1)^T. \end{aligned} Sau đó $$ \frac{v_1^Tv_2}{\|v_1\|\|v_2\|}=1 >\frac{7}{\sqrt{50}}=\frac{\tilde{v}_1^T\tilde{v}_2}{\|\tilde{v}_1\|\|\tilde{v}_2\|} $$ và do đó $$ \alpha_{v_1,v_2} =\arccos\frac{v_1^Tv_2}{\|v_1\|\|v_2\|} <\arccos\frac{\tilde{v}_1^T\tilde{v}_2}{\|\tilde{v}_1\|\|\tilde{v}_2\|} =\alpha_{\tilde{v}_1,\tilde{v}_2}. $$ Bằng cách chạy loạn $v_2$ hơi dọc theo một hướng bình thường đối với chính nó, người ta cũng có thể thu được một mẫu ngược trong đó $v_1$ và $v_2$ không phụ thuộc tuyến tính.