Toán tử laplacian 3D

Question

Tôi không thể tìm thấy điểm tương đương của sự khác biệt hữu hạn stencil 5 điểm cho toán tử Laplacian.

Trong 2 chiều đối với tôi, rõ ràng rằng, bằng cách sử dụng phương pháp chênh lệch hữu hạn: $$ \nabla_{2D}^2u = \frac{1}{h^2} \left( u_{1,0} + u_{-1,0} + u_{0,1} + u_{0,-1} -4 u_{0,0} \right) $$ (h là lưới kích thước / bước)

Nhưng tôi không chắc liệu nó có hoàn toàn đối xứng đối với trường hợp 3 chiều hay không. Tôi có thể chỉ thêm các thuật ngữ đề cập đến thứ nguyên thứ 3 không?$$ \nabla_{3D}^2u = \frac{1}{h^2} \left( u_{1,0,0} + u_{-1,0,0} + u_{0,1,0} + u_{0,-1,0} + u_{0,0,1} + u_{0,0,-1} -6 u_{0,0,0} \right) $$

Một nguồn mà tôi có thể tìm thấy các thuật ngữ độ chính xác khác nhau cho 3D Laplacian cũng sẽ hữu ích.

Answer 1

Vâng, sự khác biệt hữu hạn đó là chính xác. Bạn có thể có được nó bằng cách sử dụng một sự khác biệt hữu hạn theo mỗi hướng cho toán tử Laplace trong mỗi tọa độ.

\begin{align} \nabla^2 u =& \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\\ \approx& \frac{1}{h^2}[u(x + h, y, z) - 2u(x, y, z) + u(x -h, y, z)]\\ &+ \frac{1}{h^2}[u(x, y + h, z) - 2u(x, y, z) + u(x, y - h, z)]\\ &+ \frac{1}{h^2}[u(x, y, z + h) - 2u(x, y, z) + u(x, y, z - h)]\\ =& \frac{1}{h^2}[u(x + h, y, z) + u(x -h, y, z) + u(x, y + h, z) + u(x, y - h, z)\\ &+ u(x, y, z + h) + u(x, y, z - h) - 6u(x, y, z)]\, . \end{align}

Ngoài ra, bạn có thể nội suy một đa thức đi qua các điểm trong stencil của bạn và sau đó tính toán Laplacian của nó và đánh giá nó tại $(x, y, z)$.