Cách lấy đạo hàm của biểu thức sau

Question

Tôi đang tham gia khóa học vĩ mô vào mùa thu này và tính toán của tôi khá cũ. Vì vậy, trong các ghi chú bài giảng, họ suy ra những điều sau:$$ \begin{split} MPL&=\frac{dY}{dL}\\&=\frac{d(ALf(k))}{dL}\\&=Af(k)+ALf′(k)(−K)/(L^2A)\\&=A(f(k)−kf′(k))\\&=w \end{split} $$ Cụ thể, tôi không hiểu rõ bằng cách nào họ có $Af(k) + ALf'(k) (-K)/(L^2A)$ từ $d(ALf(k))/dL?$

Hãy để tôi làm rõ rằng k = K / AL

Thành thật mà nói, tôi đang bị mắc kẹt ở thời điểm này và tôi đoán sẽ làm được rất nhiều sự khác biệt như thế này trong toàn bộ khóa học. Sẽ thực sự đánh giá cao nếu ai đó có thể làm rõ phần khác biệt.

Answer 1

Trong trường hợp này, được sử dụng cái gọi là 'quy tắc chuỗi': nếu $f(x)$ là tùy thuộc vào biến $x$, nhưng $x(t)$ phụ thuộc từ $t$, sau đó $f(x(t))$ phụ thuộc từ $t$và nó có ý nghĩa khi nói về đạo hàm $\frac{df}{dt}$ được tính toán bởi $$f'(t)=\frac{df}{dt}=\frac{df}{dx}\frac{dx}{dt}.$$ Bạn cũng cần phải ghi nhớ công thức $(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).$

Trong trường hợp của bạn, kể từ $k=\frac{K}{AL},$ $k$ phụ thuộc vào L và cũng vậy $f(k).$ Sau đó bạn có:

$$\frac{dALf(k)}{dL}=AL'f(k)+AL\frac{df(k)}{dL}=Af(k)+AL\frac{df(k)}{dk}\frac{dk}{dL}=Af(k)+ALf'(k)\frac{-K}{AL^2}.$$

Answer 2

Tôi giải thích điều đó $A$là một hằng số. Chúng tôi muốn tính toán biểu thức sau:$$ \frac{d(A\cdot L \cdot f(k))}{d L} $$ Lưu ý rằng có ba số hạng được nhân với nhau và do đó chúng ta có thể sử dụng quy tắc tích: $$ \frac{d(A\cdot L \cdot f(k))}{d L} = \color{blue}{\frac{dA}{dL}}\cdot L \cdot f(k) + A \cdot \color{blue}{ \frac{dL}{dL}} \cdot f(k) +A \cdot L \cdot \color{blue}{ \frac{d f(k)}{dL}} $$Chú ý cách phân biệt từng thuật ngữ trong sản phẩm và sau đó kết quả được cộng lại với nhau. Một số quan sát được yêu cầu ở đây:

• $\frac{dA}{dL}=0$, bởi vì $A$ là một hằng số
• $\frac{dL}{dL}=1$
• Thời hạn $\frac{df(k)}{dL}$ là một điều khó khăn, bởi vì $k$ là một chức năng của $L$. Vì vậy, chúng ta phải "nhân và chia cho$dk$", viết lại nó thành $$ \frac{df(k)}{dL} = \frac{df(k)}{dk}\cdot \frac{dk}{dL} $$ Đây là một thuật ngữ mà chúng ta thực sự có thể tính toán được.
• Chúng ta cần tính toán $\frac{dk}{dL}$. Chúng ta biết rằng$k = \frac{K}{AL}$, vì thế $$ \frac{dk}{dL} = - \frac{K}{AL^2} $$ (Điều này có vẻ kỳ quặc? So sánh với $f(x)= \frac{1}{x}\Rightarrow f'(x) = - \frac{1}{x^2}$)

Bây giờ, chúng ta có thể cắm vào kết quả! $$ \begin{split} \frac{d(A\cdot L \cdot f(k))}{d k} &= 0 + A \cdot 1 \cdot f(k) +A \cdot L \cdot \left( - \frac{K}{AL^2} \right)\\ \end{split} $$ Bạn có thể hoàn thành nó từ đây?