Căn Jacobson của vòng đa thức

Question

Định nghĩa: Để$M$ hạt đậu $R$mô-đun. Sau đó Jacobson căn bản của$M$ được ký hiệu bởi $J_R(M)$ và được định nghĩa là giao điểm của tất cả các mô-đun con tối đa của $M$. Nếu$M$ không có mô-đun con cực đại thì $J_R(M)=M$.

Để cho $R$ là một vành giao hoán và $S=R[x]$là vành đa thức. Chúng tôi biết rằng Jacobson căn bản của$S$ Là $Nil(R)[x]$ khi nào $S$ được coi là $S$mô-đun. I E$J_S(S)=Nil(R)[x]$.

Câu hỏi của tôi: cái gì sẽ là căn nguyên Jacobson của$S$ khi nào $S$ được coi là $R$mô-đun? I E$J_R(S)=?$

Làm ơn giúp tôi. Tôi sẽ rất biết ơn bạn.

Answer 1

Đầu tiên lưu ý rằng $S\cong\bigoplus_{n\in\Bbb N}R$ như $R$-môđun. Hơn nữa, gốc jacobson bảo toàn số tiền trực tiếp, do đó$$J_R(S)\cong\bigoplus_{n\in\Bbb N}J_R(R)$$ đó là mô thức con của đa thức với hệ số trong $J_R(R)$.

---

Để chứng minh rằng căn Jacobson giao kết với tổng trực tiếp của các mô-đun, trước tiên hãy lưu ý rằng mọi $R$-mẫu đồng hình $\varphi:M\to N$ bản đồ $J_R(M)$ thành $J_R(N)$. Áp dụng điều này cho các phép chiếu chính tắc$\bigoplus_iM_i\to M_i$ cho $J_R(\bigoplus_iM_i)\subseteq\bigoplus_iJ_R(M_i)$. Tương tự, bằng cách xem xét các bao hàm chuẩn$M_i\to\bigoplus_iM_i$ chúng tôi nhận được sự bao gồm ngược lại $J_R(\bigoplus_iM_i)\supseteq\bigoplus_iJ_R(M_i)$.