Công thức sản phẩm chấm là gì?

Question

Giải thích toán học về mối liên hệ giữa: (1) chiếu vectơ a lên vectơ b và nhân độ dài hình chiếu của a với độ dài của vectơ b và (2) tổng tích các thành phần tương đương của hai vectơ ?

Tôi nhận thấy có sự đối ngẫu giữa vectơ 2 chiều và ma trận 1x2, có thể được sử dụng để giải thích tính toán của tích số chấm. Nhưng tôi đã không thấy một dẫn xuất toán học thỏa đáng, và tự hỏi liệu có cách giải thích toán học khác đơn giản hơn không.

Answer 1

Hãy bắt đầu với định nghĩa hình học$$\vec a\cdot \vec b = ab\cos\theta$$ Ngoài ra, giả sử rằng chúng ta có một cơ sở chính thống $\{\hat e_i\}$. Sau đó$$\vec a=\sum_i a_i\hat e_i\\\vec b=\sum_i b_i\hat e_i$$ Bây giờ sử dụng định nghĩa hình học, nếu hai trong số các vectơ cơ sở giống nhau $$\hat e_i\cdot \hat e_i=e_ie_i\cos 0=1$$và nếu hai vectơ khác nhau $$\hat e_i\cdot \hat e_j=e_ie_j\cos\frac{\pi}2=0$$ Sau đó $$\vec a \cdot\vec b=\vec a\cdot\left(\sum_i b_i\hat e_i\right)=\sum_i(\vec a\cdot \hat e_i)b_i=\sum_ia_i b_i$$