Đếm quá với đối xứng

Question

Một ủy ban Thượng viện có $5$ Đảng Dân chủ và $5$Đảng Cộng hòa. Có bao nhiêu cách họ có thể ngồi xung quanh một chiếc bàn tròn nếu tất cả các thành viên của mỗi bên ngồi cạnh nhau? Hai cách sắp xếp chỗ ngồi được coi là giống nhau nếu đối với mỗi người, bên trái của họ giống nhau trong cả hai cách sắp xếp.

Phương pháp tiếp cận của tôi:

Chúng tôi có thể sắp xếp từng nhóm trong $5!$các cách. Chúng tôi có thể sắp xếp toàn bộ nhóm trong$2!$ cách tức là $RD$ và $DR$. Tôi biết nó có vẻ giống nhau vì sự sắp xếp hình tròn. Mặc dù vậy, tôi muốn vượt quá các đối xứng càng nhiều càng tốt để chúng ta có thể phân chia trong một lượt. Điều này dẫn chúng ta đến$5!\times 5!\times 2$. Bây giờ mỗi sự sắp xếp đã được tính$10$ lần ($10$phép quay). Điều này dẫn đến câu trả lời của tôi$\dfrac{5!\times 5!\times 2}{10}$. Tôi tin điều này sai vì đối với trường hợp đơn giản$2$ Đảng Dân chủ và $2$ Đảng Cộng hòa, cách tiếp cận này dẫn đến $2$sự sắp xếp. Tuy nhiên, có thể dễ dàng xác minh rằng có$4$sắp xếp có thể. Ai đó có thể vui lòng giúp tôi tìm ra lỗi và câu trả lời chính xác không?

Answer 1

Vì mỗi thỏa thuận được xác định hoàn toàn bởi thứ tự của mỗi bên trong khối của nó, $5!\cdot5!$đã đếm từng sự sắp xếp chính xác một lần. Sự sắp xếp tương tự đó có thể xảy ra trong bất kỳ$10$ các vị trí xung quanh bảng, vì vậy nếu bạn thực sự muốn đếm quá mức và sau đó loại bỏ việc đếm quá mức, bạn nên có $10\cdot5!\cdot5!$sự sắp xếp được phân biệt không chỉ bởi thứ tự của những người xung quanh bàn mà còn bởi vị trí tuyệt đối của họ trên bàn. Sau đó, bạn sẽ chia cho$10$ thực tế là các sắp xếp tương đương xoay vòng không được phân biệt, vì vậy bạn sẽ nhận được $\frac{10\cdot5!\cdot5!}{10}$ sự sắp xếp.