Giải thích và Độc lập

Question

Giả sử rằng chúng ta có ba biến ngẫu nhiên độc lập X, Y và Z trong đó $X$ và $Y$ được phân phối giống nhau và $Z$có phân phối đối xứng xung quanh số không. Bằng trực giác, người ta sẽ tin rằng
$$ \Pr(X\le Z |Y\le Z) = \Pr(X\le Z) $$do tính độc lập. Tuy nhiên, tôi không biết bắt đầu từ đâu để chứng minh điều đó. Nếu chúng ta điều kiện hơn$Z$, sau đó chúng tôi kết thúc với một tích phân không nhất thiết phải đơn giản hóa thêm: $$ \int_z\Pr(X\le z ,Y\le z) dP(z) = \int_z\Pr(X\le z)\Pr(Y\le z) dP(z) $$Bất kỳ gợi ý? Nó có đúng không?

Answer 1

Nói chung, điều này không đúng, hãy xem xét trường hợp $Y$là một hằng số. Trong trường hợp đó, điều kiện là nó nhỏ hơn$Z$ cung cấp cho bạn thông tin về giá trị của $Z$.