GIT và các điểm kỳ dị

Question

Để cho $G$ là một nhóm giảm phức tạp hoạt động trên nhiều loại affine phức tạp $X$ và để $X // G = \operatorname{Spec}\mathbb{C}[X]^G$ là thương số GIT.

Có mối quan hệ nào giữa quỹ tích kỳ dị của $X$ và của $X // G$?

Tất nhiên, $X//G$ có thể rất ít trong khi $X$là mịn. Nhưng, ví dụ, tôi đã tự hỏi liệu (hoặc trong những điều kiện nào) các điểm kỳ dị của$X$ được ánh xạ tới các điểm kỳ dị của $X // G$.

Biên tập. Nhận xét tốt đẹp của Spenser dưới đây cho thấy câu trả lời cho câu trả lời thứ hai là không. Nhưng có lẽ một câu hỏi hay hơn và chính xác hơn là: Nếu$X // G$ không phải là số ít tại $y$, có không $x \in X$ ánh xạ tới $y$? Nói cách khác, tất cả các sợi của$X \to X // G$ tại các điểm không kỳ lạ chứa một điểm không kỳ dị là $X$? Tôi sẵn sàng cho rằng không thể thu phục được hoặc các thuộc tính tốt đẹp khác.

Answer 1

Đây là một câu trả lời cho câu hỏi sửa đổi. Đó là ví dụ ngược lại đơn giản nhất mà tôi có thể nghĩ về nơi nhóm giảm thiểu hoạt động trơn tru và được kết nối, nơi$X$ là bình thường và affine, và ở đâu $Y=X//G$ mịn, mặc dù có các sợi của bản đồ thương được chứa trong quỹ tích kỳ dị của $X$.

Để cho $Y$ là $\text{Spec}\ k[x,y,z]$, tức là, affine $3$-không gian. Để cho$G$ là nhóm đơn vị nhân, $G=\text{Spec}\ k[u,u^{-1}]$. Để cho$X$ là $\text{Spec}\ k[x,y,z,s,t,t^{-1}]/\langle f \rangle$ Ở đâu $f$ là đa thức, $$f=s^2+t(xz-y^2).$$ Hãy để hành động của $G$ trên $X$ được xác định bởi $$\mu:G\times_{\text{Spec}\ k} X \to X, \ \ \mu(u,(x,y,z,s,t)) = (x,y,z,us,u^2t). $$ Chiếc nhẫn của $G$đa thức -invariant là chuỗi con, $$k[X]^G = k[x,y,z].$$ Bản đồ thương số chỉ là phép chiếu thông thường, $$q:X\to Y, \ \ q(x,y,z,s,t) = (x,y,z).$$ Đối với Zariski dày đặc mở $U = D(xz-y^2)\subset Y$, hình ảnh nghịch đảo $q^{-1}(U)$ là một $G$-torsor over $U$.

Quỹ tích kỳ dị của $X$ là người độc thân $q$-chất xơ, $q^{-1}(0,0,0)$. Mặc dù nguồn gốc là một điểm trơn tru của$Y$, mọi điểm của điều này $q$-fiber là một điểm duy nhất của $X$.