Lý thuyết K về $C^{*}(X)$

Question

Tôi mới làm quen với K-Theory cho $C^{*}$-algebra và $C^{*}$-t đại số của nhóm.

Nếu $X$ là một nhóm các phép toán hỗ trợ hữu hạn của các số tự nhiên thì Lý thuyết K là gì $C^{*}(X)$?

Tôi đã định tính toán $C^{*}(X)$ đầu tiên và sau đó là các phép chiếu của nó và các lớp tương đồng của chúng nhưng tôi không xác định được $C^{*}(X)$ ngay từ đầu.

Đây là định nghĩa của $C^{*}$-tổng số của một nhóm:

https://pages.uoregon.edu/ncp/Courses/2016ShanghaiCrPrdFiniteGps/Slides/Lecture1_Print_NoP.pdf

Ai có thể giúp tôi?

Cảm ơn rất nhiều.

Answer 1

Nhóm bạn mô tả phải là nhóm đối xứng vô hạn $S_{\infty}$. Các$K$-theory of nó $C^*$-algebra đã được xác định bởi Kerov và Vershik trong

K -functor (nhóm Grothendieck) của nhóm đối xứng vô hạn https://link.springer.com/article/10.1007/BF02104985

Kết quả chính có thể được tóm tắt như sau: $\mathcal{A}$là vành của đa thức đối xứng trong vô số biến. Điều này là đồng hình với$\mathbb{Z}[a_1, a_2, \dots]$, Ở đâu $a_i$ là $i$hàm đối xứng cơ bản trong vô số đối số. Sau đó$$ K_0(C^*S_{\infty}) \cong \mathcal{A}\,/\, (a_1 - 1)\mathcal{A}\ . $$ Phép đẳng cấu gửi biểu diễn bất khả quy $\pi_{\lambda}$ tương ứng với sơ đồ Trẻ $\lambda$ đến hàm Schur tương ứng với $\lambda$. Đây cũng là một dạng đẳng cấu của chiếc nhẫn, trong đó cấu trúc chiếc nhẫn ở phía bên tay trái xuất phát từ quan sát rằng$$ K_0(C^*S_{\infty}) \cong \lim_n K_0(C^*S_n) $$ và nhân hai biểu diễn $\pi_1 \colon S_n \to GL(V)$ và $\pi_1 \colon S_m \to GL(W)$ đến $$ Ind_{S_n \times S_m}^{S_{n+m}}(\pi_1 \otimes \pi_2)\ , $$ Ở đâu $S_n \times S_m$ ngồi bên trong $S_{n+m}$ với $S_n$ hoán vị đầu tiên $n$ các yếu tố và $S_m$ hoán vị cái kia $m$.