Máy phát điện của $S_4$

Question

Nhóm $S_4$ được tạo ra bởi $\{(12), (1234)\}$. Bây giờ điều mà tôi muốn biết là tôi sẽ tạo ra như thế nào theo một chu kỳ thứ tự $4$ và bất kỳ chu kỳ đặt hàng nào $3$ Và trật tự $2$.

Câu hỏi chính của tôi là tìm số lượng từ đồng âm và nếu $\varphi(1234) \to -1$ và $\varphi (12) \to -1$.

Sau đó, làm thế nào tôi sẽ kết luận từ đây rằng bất kỳ hoán vị kỳ lạ nào sẽ đi đến $-1$ và bất kỳ thậm chí sẽ đi đến $1$. (Nó phải được thể hiện bằng các phép tính thô chứ không phải bằng cách sử dụng các định lý đồng cấu).

Tôi thực sự cần sự giúp đỡ.

Answer 1

Bất kỳ hoán vị lẻ nào $π$ phải diễn đạt được như một từ trong $(12)$ và $(1234)$ có độ dài lẻ $n$, vì cả hai đều kỳ quặc. Như vậy$\varphi(π)=(-1)^n=-1$, từ $\varphi$ là một phép đồng hình.

Answer 2

Sử dụng lý thuyết biểu diễn (xem https://math.stackexchange.com/q/3842441/432081) Tôi đang làm việc, tôi đã phát triển một chương trình python xử lý chuỗi để nhân các hoán vị. Từng bước, tôi đã tăng quy mô của tập hợp con nhóm làm việc của chúng tôi; có một và chỉ một đại diện tiêu chuẩn.

$\tau = (12)$

$\sigma = (1234) = (12)\,(23) \,(34)$

$\sigma^2 = (13)\,(24)$

$\sigma^3 = (14)\,(24)\,(34)$

$\tau\sigma = (23) \,(34)$

$\tau\sigma^2 = (13) \, (24) \, (34)$

$\tau\sigma^3 = (14)\,(34)$

$\sigma\tau = (13) \,(34)$

$\sigma^2\tau = (14) \, (23) \, (34)$

$\sigma^3\tau = (24)\,(34)$

$\tau\sigma\tau = (13) \, (23) \,(34)$

$\tau\sigma^2\tau = (14) \, (23)$

$\tau\sigma^3\tau = (12) \, (24) \,(34)$

$\sigma^2\tau\sigma^2 = (34)$

Từ đây bạn có thể 'bóc' phần còn lại $5$ chuyển vị và giải thích tại sao, đối với bất kỳ chuyển vị nào $\omega$,

$\quad \varphi(\omega) = -1$