Mở rộng các trạng thái

Question

Để cho $X$ là một không gian Hausdorff nhỏ gọn cục bộ và $Y$ là một không gian con nhỏ gọn của $X$. Để cho$\phi$ là một trạng thái trên $C(Y)$. Sau đó, chúng tôi có thể mở rộng đến$\phi$ đến $C_0(X)$? Giả sử nếu$T:f \mapsto f|_X$ là sự đồng hình từ $C_0(X)$ đến $C(Y)$, sau đó sẽ là bản đồ $\tilde{\phi}=\phi\circ T$ là một trạng thái trên $C_0(X)$?

Answer 1

Được rồi, tôi nghĩ điều này là đúng. Theo nhận xét của tôi, chúng ta chỉ cần kiểm tra xem chức năng này có định mức 1. Độ nhạy lần lượt tương đương với$\lim_\lambda \tilde{\phi}(e_\lambda) = \|\tilde{\phi}\|$ cho một số (hoặc bất kỳ) đơn vị gần đúng nào $(e_\lambda)$ cho $C_0(X)$. Vì vậy, để giải quyết vấn đề này, hãy tìm một đơn vị gần đúng$(e_\lambda)$ thỏa mãn $\lim_\lambda \tilde{\phi}(e_\lambda) = 1$.

Cũng giống như trong bài viết wikipedia cho C * -algebras (https://en.wikipedia.org/wiki/C*-algebra#Commutative_C*-algebras), có một đơn vị gần đúng $(f_K)$, được lập chỉ mục bởi các tập hợp con nhỏ gọn $K \subseteq X$ mà $f_K|K = 1$(Tietze phần mở rộng / liên kết trong phần bình luận). Với ý tưởng này, không khó để xây dựng một mạng lưới$(f_K)$, được lập chỉ mục bởi các tập hợp con nhỏ gọn $K \subseteq X$ nó bao gồm $Y$, như vậy mà $f_K|_K = 1$. Đây là đơn vị gần đúng mong muốn của chúng tôi:$$ \lim_K \tilde{\phi}(f_K) = \lim_K \phi \circ T(f_K) = \lim_K \phi(f_K|_Y) = \lim_K 1 = 1. $$