Monomorphisms trong danh mục functor

Question

Hãy giả sử $C$ là một danh mục nhỏ và $D$là một danh mục nhỏ ở địa phương. Bây giờ, hãy$F, G$ là hai đối tượng trong $D^C$ và để $m:F\longrightarrow G$ là một người biến hình trong $D^C$. Sau đó, tôi đoán chúng ta có m là một đơn hình nếu và chỉ khi cho mỗi$c\in Ob(C)$, $m_c: F(c)\longrightarrow G(c)$là một đơn hình. Một hướng thì dễ chứng minh, nhưng tôi không biết hướng còn lại có đúng hay không. Nếu đó là sự thật, thì đâu là bằng chứng? Nếu nó không đúng, vậy nếu D là một phạm trù abel thì sao? Về cơ bản, tôi đã cố gắng chứng tỏ rằng D là một thể loại abel là đúng, nhưng tôi không thể.

Answer 1

Kết quả này nói chung là không đúng. Xem xét danh mục$C$ được tạo bởi biểu đồ có các cạnh $x\rightrightarrows y\to z,w\to y$, nơi có sự biến hình độc đáo $x\to z$. Có một sự biến đổi tự nhiên độc đáo giữa các tác nhân của miền$0\to 1$ với hình ảnh $w\to y$ và $y\to z$, mà tôi khẳng định là đơn hình, mặc dù $y\to z$ không phải là một đơn hình trong $C$. Lý do là không có functor$F:(0\to 1)\to C$ thừa nhận một sự biến đổi tự nhiên thành $w\to y$ có thể bao gồm $x$ trong hình ảnh của nó, vì không có bản đồ nào vào $w$ từ bất kỳ đối tượng nào ánh xạ vào $x$. Như vậy$F$ các yếu tố thông qua danh mục con $w\to y\to z$ của $C$, trong đó tiểu thể loại mà sự biến đổi tự nhiên của chúng ta có chân đơn hình.

Như đã được thảo luận trong các ý kiến, kết quả là đúng trong bất kỳ loại abel (hoặc thậm chí chỉ là một loại với pullbacks.) Nó cũng đúng trong bất kỳ loại thừa nhận coproducts lên đến kích thước của hom-bộ của nó. Về cơ bản, cả hai điều kiện này đảm bảo rằng bạn không bao giờ có tình huống ở trên mà không có gì ánh xạ đến cả hai$x$ và $w$, nhưng tôi không biết liệu giả định chính xác rằng điều đó không bao giờ xảy ra có đủ hay không. Đối với điều kiện đồng sản phẩm, lập luận chính xác là sau đó nếu$\alpha:F\to G$ và $\alpha_c:F(c)\to G(c)$ không phải là một đơn hình, sau đó từ một nhân chứng thành không đơn hình của $\alpha_c$, $f,g:x\to F(c)$, chúng tôi có thể xây dựng một nhân chứng $c_!f,c_!g:c_!x\to F$, bằng cách sử dụng hàm mở rộng Kan bên trái $c_!$. Điều này gửi$x$ đến người chơi $y\mapsto \coprod_{\mathrm{Hom}(x,y)} x$và gửi $f$ đến sự biến đổi tự nhiên sao cho $(c_!f_y)_k=F(k)\circ f$, bất cứ gì $k:x\to y$.