Muối trong thùng chứa - Vấn đề ODE

Question

Chúng tôi làm việc với một thùng chứa nước có thể chứa đến 1000 lít. Thùng nước ban đầu chứa 500 lít nước, trong đó đã hòa tan 20 kg muối. Có sự khuấy động trong vật chứa, vì vậy nồng độ muối ở mọi nơi như nhau.

Nước sạch chảy vào thùng chứa với tốc độ 4L / phút. Đồng thời, nước mặn chảy ra khỏi thùng chứa với tốc độ 2L / phút. Điều này gây ra vấn đề vì thùng chứa chỉ ở mức 1000L. Sau một lúc, chuông báo động sẽ phát ra do một thùng chứa đầy.

(a) Báo thức kêu vào lúc mấy giờ?

Phương trình vi phân mô tả vấn đề này được đưa ra bởi

$$y'=-\frac{2}{500+2t}\cdot y$$

Có ghi rằng hàm lượng muối là 10kg khi chuông báo thức kêu, tức là $y(250)=10$. Ngay khi tiếng chuông báo động, dòng chảy thay đổi để nước muối chảy ra với 35g muối mỗi lần. lít ở tốc độ 1L / phút. Vẫn có 2L chảy ra mỗi. phút.

(b) Bao nhiêu muối trong thùng khi thùng còn lại 500L?

---

Câu trả lời của tôi: Chà (a) khá dễ dàng, tôi nhận được rằng báo thức sẽ kêu sau 250 phút kể từ $500+2\cdot 250=1000$và sau đó báo thức sẽ đổ chuông. Nhưng phần cuối cùng, tức là (b) không dễ dàng đối với tôi. Tôi tin rằng tôi phải tạo ODE từ thông tin tôi vừa có được, nhưng ở đây tôi đã thử nhiều lần. Lưu ý rằng vấn đề này đến từ một cuốn sách có nhiều câu hỏi hơn, tôi chỉ chọn phần có liên quan. (b) cũng được ghi là "tự nguyện" trong cuốn sách. Chú ý đây không phải là vấn đề bài tập về nhà.

Answer 1

Đối với phần (b),

bạn có $1000$ lít nước để bắt đầu với $10$ kg muối.

Thể tích của nước đang giảm với tốc độ 1 lít / phút (1 lít chảy vào và 2 lít chảy ra mỗi phút). Nó sẽ mất$500$ phút để giảm từ $1000$ lít đến $500$ lít.

Vậy khối lượng nước còn lại trong bể sau thời gian $t$ phút $= 1000 - t$

Muối chảy vào với tốc độ $0.035$ kg / phút.

Nói có $y$ kg muối tại một thời điểm nhất định $t$ trong $1000-t$ lít nước.

Sau đó tại thời điểm $t$, muối chảy ra với tốc độ $\frac{y}{1000-t} \times 2$ (như $2$ lít mỗi phút chảy ra)

Vì vậy, tỷ lệ thay đổi của muối $\frac{dy}{dt} = 0.035 - \frac{2y}{1000-t}$

Hãy cùng nói nào $x = 1000 - t$ sau đó với sự thay thế,

$- \frac{dy}{dx} = 0.035 - \frac{2y}{x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{x} - 0.035$ ...(Tôi)

Bây giờ để giải phương trình tuyến tính này, chúng ta phải sử dụng hệ số tích phân. Tôi đã sử dụng WolframAlpha để xác minh.

$\mu = e^{\int{-2/x \, dx}} = \frac{1}{x^2}$

Nhân cả hai bên với $\mu$ trong (i),

$\frac{1}{x^2} \frac{dy}{dx} - \frac{2y}{x^3} = - \frac{0.035}{x^2} $

$\frac{1}{x^2} \frac{dy}{dx} + \frac{d}{dx}(\frac{1}{x^2})y = - \frac{0.035}{x^2} $

$\int d(\frac{y}{x^2}) = - \int \frac{0.035}{x^2}dx $

$\int d(\frac{y}{x^2}) = - \int \frac{0.035}{x^2}dx $

$y = 0.035x + cx^2$

Thay thế trở lại $x = 1000 - t$

$y = 35 - 0.035t + c(1000-t)^2$

Tại $t = 0$, có $10$ kg muối.

$10 = 35 + c \times 1000^2$

Vì vậy, hằng $c = -\frac{25}{1000^2}$

Tại $t = 500$,

Tổng số muối $y = 35 - 0.035 \times 500 - \frac{25}{1000^2} \times 500^2 = 11.25$ Kilôgam.