Sheafification of presheaf không đổi

Question

Tôi đang đọc về sheafification nhưng nó quá trừu tượng đối với tôi. Tôi đang cố gắng tìm ra ví dụ về việc sheafification của một presheaf không đổi và cố vấn của tôi cho tôi ví dụ sau:$X$ là một không gian tôpô và $A$là một nhóm abelian. Để cho$\mathfrak{A}^+$ là giá trị đặt trước của các hàm liên tục, tức là $$\mathfrak{A}^+(U)=\{\alpha : U → A \text{ continuous}\}$$ Ở đâu $A$ có cấu trúc liên kết rời rạc, cho mỗi tập hợp mở $U$. Có 3 điều anh ấy muốn tôi thể hiện:

(1) $\mathfrak{A}^+$ là một tập hợp các nhóm abelian.

(2) Tất cả các thân cây $\mathfrak{A}^+_x=A$.

(3) Bản đồ tự nhiên $f : \mathfrak{A} → \mathfrak{A}^+$ từ lá không đổi gây ra hiện tượng đẳng cấu trên thân cây

(1) dễ dàng vì một hàm là $0$ tôi hiểu rồi $0$tại địa phương. Tôi nghĩ (2) và (3) nên dễ dàng vì chúng tôi không có nhiều thông tin, nhưng kỳ lạ là tôi không biết cách sử dụng chúng.

Trong (2), tôi biết các bản đồ $\mathfrak{A}^+(U)\to \mathfrak{A}^+(V)$ khi nào $V\subseteq U$chỉ là hạn chế. Theo định nghĩa, cuống$\mathfrak{A}^+_x=\varinjlim_{x\in U} \mathfrak{A}^+(U)$. Nhưng làm cách nào để bạn chuyển đổi định nghĩa (nhóm các hàm liên tục) thành$A$? Tôi thậm chí cảm thấy như chúng tôi thiếu thông tin ở đây vì chúng tôi thậm chí không biết cấu trúc của các tập hợp mở trong$X$và tôi không thấy bất kỳ bản đồ tự nhiên nào từ giới hạn trực tiếp đến $A$.

(3) đối với tôi thậm chí còn mơ hồ hơn. Nói$U$đang mở. Làm cách nào để bạn lập bản đồ tự nhiên một phần tử trong$A=\mathfrak{A}$, đến một chức năng $U\to A$ trong $\mathfrak{A}^+$? Tôi biết rằng các bản đồ đáp ứng một sơ đồ, vì vậy$f_U(a)|_V=f_V(a)$ Ở đâu $V\subseteq U$là những bộ mở. Theo (2), cuống của cả hai đều là$A$, nhưng tôi không nghĩ bản đồ được tạo ra sẽ là danh tính, vì vậy tôi khó hiểu tại sao đây là một iso?

Tôi chỉ là một người mới bắt đầu về Hình học Đại số nên những câu hỏi này có thể rõ ràng. Cảm ơn bạn.

Answer 1

(1) Tổng quát hơn nhiều (và do đó dễ dàng hơn nhiều!):
Cho một không gian tôpô tùy ý$Y$ có một cái lá $\mathcal C_Y$ trên $X$ được đặc trưng bởi yêu cầu đối với bất kỳ tập hợp con nào đang mở $U\subset X$ chúng ta có $\mathcal C_Y(U)=\mathcal C(U,Y)$, tập hợp các hàm liên tục $U\to Y$.
Của bạn$ \mathfrak A^+$ chính xác là cái lá $\mathcal C_A$, Ở đâu $A$ được ưu đãi với cấu trúc liên kết rời rạc.

(2) Chúng tôi có một sự biến hình của các nhóm abelian $i:\mathcal C_{A,x}\to A$ được định nghĩa như sau: cho một mầm $\gamma\in \mathcal C_{A,x}$ chúng tôi thể hiện nó bằng một số hàm liên tục $g:U\to A$ và chúng tôi xác định $i(\gamma)=g(x)$.
Phép biến hình này là một phép đẳng cấu vì nó nghịch đảo rõ ràng với phép biến hình nhóm$j:A\to \mathcal C_{A,x}$ gửi $a\in A$ đến $j(a)= \operatorname [{const}(a)]_x$, mầm tại $x$ của hàm hằng $\operatorname {const}(a): X\to A$ gửi bất kỳ điểm nào của $X$ đến $a$.

(3) Đối với bất kỳ vùng lân cận $U\subset X$ của $x$ bản đô $\mathfrak A(U)=A \to \mathcal C_A(U): a\mapsto \operatorname {const}(a)$ rõ ràng là bị thương và do đó có giới hạn trực tiếp trên bản đồ $f: \mathfrak A_x\to \mathcal C_{A,x}$cũng bị thương.
Tính chủ quan cũng dễ dàng: trong ký hiệu (b) một mầm$\gamma=[g]_x\in \mathcal C_{A,x}$ là hình ảnh dưới $f$ của mầm $[\operatorname {const}(g(x))]_x\in \mathfrak A_x$.
Và vì vậy chúng tôi đã chứng minh rằng sự biến hình$f: \mathfrak A_x\to \mathcal C_{A,x}$ thực sự là khách quan.