AB - BA = Z cổ góp

Question

Xác định tất cả các số thực $x$ cái mà tồn tại $3\times3$ ma trận thực $A$ và $B$ như vậy mà \begin{align*} AB -BA = \begin{pmatrix} 1& 0& 0\\ 0& x& 0\\ 0& 0& -1\\ \end{pmatrix} \end{align*} Giải pháp:

Ý tưởng: Một ma trận vuông $Z$ được gọi là "cổ góp" khi $Z=XY-YX$ cho một số ma trận $X$ và $Y$. Sau đó, dấu vết ($Z$) $= \sum z_{ii}=0$ bởi vì dấu vết ($XY$)$=$dấu vết$(YX)$ cho tất cả các ma trận $X$ và $Y$ cả hai sản phẩm của ai $XY$ và $YX$là hình vuông. Trong bài toán này, ma trận$\begin{pmatrix} 1& 0& 0\\ 0& x& 0\\ 0& 0& -1\\\end{pmatrix}$cư xử như một cổ góp. Vì vậy, lấy dấu vết cho cả hai bên.\begin{align*} \text{tr}(AB -BA) &= \text{tr}\begin{pmatrix} 1& 0& 0\\ 0& x& 0\\ 0& 0& -1\\ \end{pmatrix}\\ \text{tr}(AB) - \text{tr}(BA) &= x\\ \end{align*} Chúng tôi biết rằng, tồn tại bất kỳ ma trận nào $A$ và $B$ như vậy mà tr ($AB$) $=$ tr ($BA$). Vì vậy, chúng ta có thể nói rằng nếu$x=0$ sau đó tr$(AB) =$ tr$(BA)$, tuyên bố trên đúng. Nếu$x\neq 0$ sau đó tr$(AB)$$\ neq $ tr $ (BA) $ , câu lệnh trên không giữ

Nếu $ x = 0 $ tồn tại $ 3 \ times3 $ ma trận thực $ A $ và $ B $ sao cho tr $ (AB) = $ tr $ (BA) $
Nếu $ x \ neq0 $ thì không tồn tại $ 3 \ times3 $ ma trận thực $ A $ và $ B $ sao cho tr $ (AB) = $ tr $ (BA) $

Đây là câu trả lời của tôi cho vấn đề này. Nhưng giáo sư của tôi nói rằng tôi đã không chứng minh rằng có các ma trận $ A, B $ thỏa mãn phương trình trong bài toán. Làm thế nào để chúng tôi chứng minh sự tồn tại của các ma trận này?

Answer 1

Bạn có thể trưng bày hai ma trận $A$ và $B$ thỏa mãn phương trình đã cho khi $x=0$. Bạn có thể cố gắng giải quyết vấn đề nhỏ hơn$$ XY-YX=Z:=\pmatrix{1&0\\ 0&-1}\tag{1} $$Đầu tiên. Sau đó phóng to$X$ và $Y$ tới hai $3\times3$ ma trận $A$ và $B$ bằng cách chèn một hàng 0 và một cột 0 vào giữa mỗi $X$ và $Y$.

Để giải quyết $(1)$, bạn có thể chọn một $X$ ngẫu nhiên (cho điều này cụ thể $Z$ trong $(1)$, không chọn ma trận đường chéo; bạn có biết tại sao không?) và giải quyết cho$Y$. Từ$Y$có bốn mục nhập, bạn có một hệ thống bốn phương trình tuyến tính với bốn ẩn số. Nó thường có thể giải quyết được trừ khi lựa chọn$X$là rất tệ. Một lựa chọn rất tốt cho vấn đề hiện tại của chúng ta$(1)$ Là $X=\pmatrix{0&1\\ 1&0}$.

Nếu bạn muốn biết thêm về phương trình $XY-YX=Z$, xem bài báo của Kahan's Only Commutators Have Trace Zero .