Để tìm một đa thức

Question

Nghi ngờ của tôi là từ một bài báo mô hình PRMO mà tôi có ngày hôm nay. Hình ảnh của câu hỏi được đưa ra dưới đây (Tôi đã phải ăn trưa, vì vậy tôi đã nghĩ ra cách nhanh hơn để đặt câu hỏi của mình và kết thúc với điều này):

Những gì tôi đã thử :

tôi cảm thấy thế $f(x) - x^3$có thể cho tôi giá trị của phần bậc hai của đa thức. Kết quả là, lấy phần bậc hai có dạng$ax^2 +bx + c$, sự khác biệt tôi nhận được là:

1. $f(1) - 1^3 = a + b + c = 0$
2. $f(2) - 2^3 = 4a + 2b + c = -4$
3. $f(3) - 3^3 = 9a + 3b + c = -18$

Tôi không phải là một chuyên gia trong việc giải 3 phương trình tuyến tính trong 3 biến, nhưng tôi đã thử và cuối cùng sởn tóc gáy (cố gắng tỏ ra văn học một chút; hy vọng bạn sẽ không bận tâm đến từ ngữ, mà tập trung vào câu hỏi). Tôi đã cố gắng lấy 2 phương trình cùng một lúc và kết thúc việc nhận được nhiều giá trị cho các biến giống nhau.

Tôi sẽ biết ơn bất cứ ai sẵn sàng giúp đỡ tôi.

Answer 1

1. $f(1) - 1^3 = a + b + c = 0$
2. $f(2) - 2^3 = 4a + 2b + c = -4$
3. $f(3) - 3^3 = 9a + 3b + c = -18$

Phương trình thứ ba sai

Trừ eq (1) cho eq (2)

$ 4a + 2b + c -( a + b + c) = -4-0$

$3a +b = -4$------------------------------ phương trình (3)

Trừ eq (1) cho eq (3)

$9a + 3b + c -(4a + 3b + c) = -18-(-4)$

$5a = -22$ $a = \frac{-2}{5}$ Thay thế điều này trong tất cả các phương trình và bạn sẽ nhận được câu trả lời

Answer 2

Lưu ý rằng $f(x) = x^2$thỏa mãn ba phương trình đã cho. Nhưng chúng tôi muốn mức độ$3$ vì vậy chúng tôi thêm $(x-1)(x-2)(x-3)$ và lấy $$f(x) = (x-1)(x-2)(x-3) + x^2$$ với $f(4) = 6+16 = 22$.

Answer 3

Gợi ý: Cân nhắc $f(x)-x^2$thay thế. Làm việc với đa thức bằng 0 tại các điểm đã cho sẽ dễ dàng hơn rất nhiều.

Answer 4

Trong khi các giải pháp liên quan đến $x^2$ có thể là những thứ mà người đặt câu hỏi dự định, cũng dễ dàng nhanh chóng nhận được giá trị của $f(4)$mà không cần trích xuất bậc hai bằng cách sử dụng sự khác biệt hữu hạn. Để cho$g(n) = f(n) - n^3$, như trong OP, là bậc hai. Sự khác biệt của đơn hàng đầu tiên là:

$$\Delta g(1) = g(2)-g(1) = -4 \\ \Delta g(2) = g(3) - g(2) = -14.$$

Vì vậy, sự khác biệt bậc hai là $\Delta^2 g(1) = \Delta g(2) - \Delta g(1) = -10$, đối với bất kỳ đa thức bậc hai (hoặc thấp hơn) nào là hằng số. Vì thế$\Delta^2 g(2) = -10$, vì thế $\Delta g(3) = \Delta g(2) -10 = -24$và $g(4) = g(3) -24 = -42$.

Vì thế $f(4) = 4^3 -42 = 22$.

Answer 5

Chúng ta có $$a+b+c=0,$$ $$4a+2b+c=-4$$ và $$9a+3b+c=-18,$$ cái nào cho $$(a,b,c)=(-5,11,-6)$$ và $$f(x)=x^3-5x^2+11x-6.$$ Vì vậy, $$f(4)=22.$$

Answer 6

Chúng ta không cần phải xác định rõ ràng các hệ số của đa thức, thực sự chúng ta có điều đó bằng tính duy nhất

$$f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)+\frac12(x-2)(x-3)-4(x-1)(x-3)+\frac92(x-1)(x-2)$$

thỏa mãn bằng cách xây dựng các điều kiện đã cho với $f(1)=1$, $f(2)=4$ và $f(3)=9$, sau đó

$$f(4)=(3)(2)(1)+\frac12(2)(1)-4(3)(1)+\frac92(3)(2)=6+1-12+27=22$$

Như đã nhận thấy ở các câu trả lời khác, khôn ngoan hơn chúng ta có

$$f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)+x^2$$

Answer 7

Được $f(x)$ , một đa thức bậc ba monic.

$f(1) = 1$, $f(2) = 4$, $f(3) = 9$

Theo định lý thừa số, chúng ta có thể chỉ ra rằng $(x-1)$,$(x-2)$ và $(x-3)$ là yếu tố của $f(x) - x^2$

Chúng ta có ba yếu tố tuyến tính do đó chúng ta có thể viết $f(x)$ như,

$f(x) - x^2 = k(x-1)(x-2)(x-3)$, trong đó k là hằng số

Nhưng $f(x)$ là một đa thức monic, do đó k = 1

do đó đa thức của chúng ta trở thành, $f(x) - x^2 = (x-1)(x-2)(x-3)$

Đặt x = 4,

$f(4) = 6 + 16 = 22$

Đây là kỹ thuật phổ biến để giải các bài toán cạnh tranh, Bạn có thể đọc thêm về nó tại đây https://brilliant.org/wiki/polynomial-interpolation/