Isomorphism với Ext functor

Question

Giả sử rằng $M$ là một thứ hạng miễn phí $n$ $R$-mô-đun và hơn nữa, giả sử một nhóm $G$ Hành động trên $M$ và $G$-action giao tiếp với $R$-hoạt động. Do đó chúng ta có một sự đồng hình$\rho: G \rightarrow \text{GL}_n(R)$. Điều này lại cho chúng ta một$G$- hành động trên $\text{End}_R(M)$ thông qua $g\cdot \phi = \rho(g) \phi \rho(g)^{-1}$. Bây giờ là$$\text{Ext}^1_{\mathbb{Z}[G]}(\mathbb{Z}, \text{End}_R(M)) \cong \text{Ext}^1_{R[G]}(M,M)?$$Tôi biết rằng các tập hợp đang được phân tích thông qua một lập luận khá vòng vo, nhưng tôi đang tự hỏi liệu có một nhóm đẳng cấu đơn giản đang ẩn náu ở đây hay không. Ngoài ra, có các dạng đồng dạng tương ứng của các nhóm Ext cao hơn không?

Answer 1

Đầu tiên hãy để $A$ là bất kỳ $\mathbb{Z}[G]$-mô-đun, và $M$ và $N$ bất kì $R[G]$-môđun.

Có một sự đẳng cấu tự nhiên của $R$-môđun $$\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}[G]}\bigl(A,\operatorname{Hom}_R(M,N)\bigr)) \cong \operatorname{Hom}_{R[G]}\bigl(A\otimes_{\mathbb{Z}}M,N\bigr)$$ (Ở đâu $G$ Hành động trên $\operatorname{Hom}_R(M,N)$ bởi $(g\cdot\varphi)(m)=g\varphi(g^{-1}m)$ và hơn thế nữa $A\otimes_{\mathbb{Z}}M$ bởi $g\cdot(a\otimes m)=(ga)\otimes(gm)$), được cho bởi $$\theta\mapsto[a\otimes m\mapsto \theta(a)(m)]$$ với nghịch đảo $$\psi\mapsto [a\mapsto[m\mapsto\psi(a\otimes m)]].$$

Từ bây giờ giả sử rằng $A$ là một xạ ảnh $\mathbb{Z}[G]$-mô-đun và $M$ là xạ ảnh như một $R$-môđun. Sau đó, với tư cách là những người vui vẻ từ$R[G]$-môđun đến $R$-mô-đun, $$\operatorname{Hom}_{R[G]}(A\otimes_{\mathbb{Z}}M, -)\cong \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}[G]}\bigl(A,\operatorname{Hom}_R(M,-)\bigr),$$ đó là chính xác, vì vậy $A\otimes_{\mathbb{Z}}M$ là một xạ ảnh $R[G]$-môđun.

Áp dụng các chức năng này của $A$ đến một giải pháp xạ ảnh $P_*$ sau đó $\mathbb{Z}[G]$-môđốc $\mathbb{Z}$, chúng tôi nhận được phức hợp chuỗi đẳng cấu $$\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}[G]}\bigl(P_*,\operatorname{Hom}_R(M,N)\bigr)) \cong \operatorname{Hom}_{R[G]}\bigl(P_*\otimes_{\mathbb{Z}}M,N\bigr).$$

Tương đồng của cái đầu tiên là $\operatorname{Ext}^*_{\mathbb{Z}[G]}\bigl(\mathbb{Z}, \operatorname{Hom}_R(M,N)\bigr)$, và kể từ khi $P_*\otimes_{\mathbb{Z}}M$ là một giải pháp theo phương hướng của$M$ như một $R[G]$-module) tương đồng của thứ hai là $\operatorname{Ext}^*_{R[G]}(M,N)$.

Đặc biệt, nếu $M=N$ điều này tạo ra các đẳng cấu tự nhiên của $R$-môđun $$\operatorname{Ext}^n_{\mathbb{Z}[G]}\bigl(\mathbb{Z},\operatorname{End}_R(M)\bigr)\cong \operatorname{Ext}^n_{R[G]}(M,M)$$ Cho mọi $n$.