Kết nối trên gói pullback.

Question

Để cho $E\to N$ là một gói vectơ và $f:M\to N$là một bản đồ trơn tru. Pullback$f^*:\Omega^k(N,E)\to \Omega^k(M,f^*E)$ sau đó được định nghĩa bởi $$(f^*\omega)_x(v_1,...,v_k)=\omega_{f(x)}((df)_x(v_1),...,(df)_x(v_k))$$ với $x\in M$ và $v_1,...,v_k\in T_xM$.

Câu hỏi đầu tiên : làm cách nào tôi có thể viết lại pullback này dưới dạng bản đồ$f^*\omega:\mathfrak{X}(M)\times...\times \mathfrak{X}(M)\to \Gamma(M,f^*E)$? Vấn đề của tôi là$df:\mathfrak{X}(M)\to \mathfrak{X}(N)$ được xác định rõ miễn là $f$là một sự khác biệt. Tuy nhiên,$df:\mathfrak{X}(M)\to \Gamma(M,f^*TN)$ thực sự được xác định rõ.

Sau đó, tôi biết rằng kết nối $f^*\nabla$ trên $f^*E\to M$ được xác định duy nhất bởi $$(f^*\nabla)(f^*s):=f^*(\nabla(s))\in \Omega^1(M,f^*E)$$

Câu hỏi thứ hai: Trong một số cuốn sách, tôi đã thấy ký hiệu$$(f^*\nabla)_X(f^*s)=f^*(\nabla_{df(X)}(s))=\nabla_{df(X)}(s)\circ f$$ nhưng miễn là $f$ không phải là sự khác biệt $df(X)$ không phải là một trường vectơ trên $N$ vì vậy nó không có ý nghĩa viết $\nabla_{df(X)}$. Làm thế nào tôi có thể giải quyết vấn đề này?

Answer 1

Để viết pullback toàn cục dưới dạng bản đồ các mô-đun, bạn cần chia cấu trúc thành hai phần. Để làm cho mọi thứ bớt khó hiểu hơn, hãy để tôi biểu thị bằng$f^{\star}(E)$ gói pullback và biểu thị bằng $\mathfrak{X}_f(M) = \Gamma(M,f^{\star}(TN))$ trường vector dọc theo $f$. Do đó, các bản đồ và công trình xây dựng liên quan đến$\star$ không liên quan gì đến đạo hàm trong khi các bản đồ liên quan đến $*$bao gồm đạo hàm. Hiện nay,

1. Cho một biểu mẫu $\omega \in \Omega^k(N,E)$, chúng tôi nhận được một phần tử $f^{\star}(\omega) \in \Gamma \left( \operatorname{Alt}^k \left( f^{\star}(TN), f^{\star}(E)\right) \right)$ được cho bởi $$ f^{\star}(\omega)|_p \left( \xi_1, \dots, \xi_k \right) = \omega_{f(p)} \left( \xi_1, \dots, \xi_k \right)$$ Ở đâu $\xi_i \in \mathfrak{X}_f(M)$ các trường vectơ dọc theo $f$ vậy nên $\xi_i(p) \in T_{f(p)}N$và công thức có ý nghĩa. Trên toàn cầu, điều này tương ứng với một bản đồ luân phiên của$C^{\infty}(M)$-môđun $$f^{\star}(\omega) \colon \mathfrak{X}_f(M) \times \dots \mathfrak{X}_f(M) \rightarrow \Gamma(f^{\star}(E)).$$
2. Ngoài ra, bạn có bản đồ $df \colon \mathfrak{X}(M) \rightarrow \mathfrak{X}_f(M)$. Sau đó$$ f^{*}(\omega)(X_1, \dots, X_k) = f^{\star}(\omega)(df(X_1), \dots, df(X_k)). $$

Về câu hỏi thứ hai, công thức $$ f^{*}(\nabla)_{X}(f^{\star}(s)) = \nabla_{df(X)}(s) \circ f $$ được hiểu theo địa phương là $$ \left( f^{*}(\nabla)_{X}(f^{\star}(s)) \right)|_{p} = \left( \nabla_{df|_{p}(X)}(s) \right) \textrm{ (at }f(p)\textrm{)}.$$ Nó có ý nghĩa ngay cả khi $f$ không phải là sự khác biệt như một kết nối $\nabla_X(s)$ là căng thẳng trong $X$Biến đổi. Bạn cũng có thể hiểu công thức trên toàn cầu bằng cách chia việc xây dựng kết nối pullback thành hai phần:

1. Có một bản đồ $f^{\star}(\nabla) \colon \mathfrak{X}_f(M) \times \Gamma(E) \rightarrow \Gamma(f^{\star}(E))$ được cho bởi $$ \left( f^{\star}(\nabla)_{\xi} \right)(s)|_{p} = \left( \nabla_{\xi(p)} s \right)|_{f(p)}. $$
2. Kết nối pullback $f^{*}(\nabla)$ là kết nối duy nhất $f^{*}(\nabla) \colon \mathfrak{X}(M) \times \Gamma(f^{\star}(E)) \rightarrow \Gamma(f^{\star}(E))$ thỏa mãn $$ f^{*}(\nabla)_{X}(f^{\star}(s)) = f^{\star}(\nabla)_{df(X)}(s). $$