Làm $U^c \subseteq B$ ngụ ý $B^c \subseteq U$?

Question

Giả sử $U, B$ cả hai đều là tập hợp con của $X$ và tôi muốn biết liệu $U^c \subseteq B$ ngụ ý $B^c \subseteq U$. Có vẻ như trường hợp này là đúng vì tôi đã vẽ một vài biểu đồ Venn và nó có vẻ ổn nhưng tôi không chắc đó có phải là trường hợp đó không vì tôi tin rằng có thể có một số ví dụ ngược lại. Bất cứ ai có thể cho tôi một số ý tưởng? Cảm ơn!

Answer 1

Ngắn gọn: Nếu $x\in B^c$ sau đó $x\notin B$, vì thế $x\notin U^c$, vì thế $x\in U$.

Answer 2

Nếu $x \in B^\complement$. Tôi khẳng định điều đó thực sự$x \in U$ bởi vì

nếu $x \notin U$ sau đó $x \in U^\complement \subseteq B$ vì thế $x \in B$ mâu thuẫn $x \in B^\complement$.

Vì vậy, sự bao gồm giữ nguyên. Ngoài ra, bạn có thể sử dụng thực tế logic

$$p \to q \iff \lnot q \to \lnot p$$ áp dụng cho $p:= (x \in B^\complement)$ và $q:= (x \in U)$.