Nếu $\mathbb E_{\mathbb P} \vert f(X,Y)\vert <\infty$, cũng $\mathbb E_{\mathbb P_1\times \mathbb P_2} \vert f(X,Y)\vert <\infty$?

Question

Để cho $(E_1,\mathcal E_1)$ và $(E_2,\mathcal E_2)$là hai không gian có thể đo lường được. Để cho$(E=E_1\times E_2,\mathcal E=\mathcal E_1\times \mathcal E_2)$. Để cho$\mathbb P$ phân phối xác suất hợp lệ trên $(E,\mathcal E)$. Xác định các phân phối biên$\mathbb P_1(A)=\mathbb P (A\times E_2)$ và $\mathbb P_2(A)=\mathbb P (E_1\times A)$và cuối cùng biểu thị việc phân phối sản phẩm bằng $\mathbb P_1\times \mathbb P_2$. Cuối cùng giả sử rằng chúng ta biết\begin{align*} \mathbb E_{\mathbb P} \vert f(X,Y)\vert <\infty.\end{align*} Câu hỏi của tôi là nếu nó cũng chứa \begin{align*} \mathbb E_{\mathbb P_1\times \mathbb P_2} \vert f(X,Y)\vert <\infty?\end{align*}

Đặc biệt, nếu nó là sai, tôi hy vọng sẽ thấy một ví dụ ngược lại và tôi cũng muốn biết nó có đúng trong trường hợp đó không $f(X,Y)=g(X)h(Y)$ cho một số chức năng $g$ và $h$.

Answer 1

Nói chung là không đúng.

Để cho $E_1 = E_2 = \mathbb{R}$, và để $\mu$ là một số thước đo xác suất trên $\mathbb{R}$không có thời điểm đầu tiên (ví dụ: phân phối Cauchy). Để cho$\mathbb{P}$ là luật chung của $(X, X)$ Ở đâu $X \sim \mu$. Cuối cùng để$f(x,y) = x-y$. Dưới$\mathbb{P}$, chúng ta có $Y=X$ như, và do đó $f(X,Y)=0$ như vậy $\mathbb{E}_{\mathbb{P}}|X-Y| = 0$. Nhưng dưới$\mathbb{P}_1 \times \mathbb{P}_2$, chúng ta có $X,Y$ có tôi không $\mu$, và nó theo sau đó $\mathbb{E}_{\mathbb{P}_1 \times \mathbb{P}_2} |X-Y| = \infty$. Để thấy điều này, hãy sử dụng định lý Tonelli để viết$$\mathbb{E}_{\mathbb{P}_1 \times \mathbb{P}_2} = \int \mathbb{E}|X-y| \,\mathbb{P}_1(dy)$$ nơi tích hợp giống hệt nhau $+\infty$, sử dụng $|X-y| \ge |X|-|y|$.

Nó thậm chí không đúng với $f(x,y) = g(x) h(y)$. Để cho$W$ là một biến ngẫu nhiên với vô hạn thời điểm đầu tiên và $Z$ một biến ngẫu nhiên Bernoulli (1/2) độc lập với $W$. Để cho$\mathbb{P}$ là luật chung của $(WZ, W(1-Z))$, và thiết lập $f(x,y) = xy$, có dạng $g(x) h(y)$. Sau đó$$\mathbb{E}_{\mathbb{P}}|XY| = \mathbb{E} |W^2 Z (1-Z)| = 0$$ bởi vì $Z(1-Z)=0$ như Nhưng $WZ, W(1-Z)$ được phân phối giống nhau, vì vậy chúng tôi có $$\mathbb{E}_{\mathbb{P}_1 \times \mathbb{P}_2}|XY| = (\mathbb{E}|WZ|)^2 = (\mathbb{E}|W| \cdot \mathbb{E}|Z|)^2 = \frac{1}{4} (\mathbb{E}|W|)^2 = \infty.$$