Phép biến đổi đơn nhất lượng tử

Question

Trong cơ học lượng tử, chúng ta biết $\dot{\psi}=-\frac{i}{\hbar}H\psi$,

nhưng tại sao lại là $U\dot{\psi}=-\frac{i}{\hbar} \left(UHU^\dagger \right) U\psi$?

Có nghĩa là $UHU^\dagger = H$? tôi nghĩ$UU^\dagger H = H$, nhưng tại sao chúng ta có thể thay đổi thứ tự của các ma trận ở đây?

Answer 1

Bạn đang suy nghĩ quá mức về điều này, giả sử $U$ là đơn nhất:

$$ U\dot\psi= -\frac{i}{\hbar} UH\psi=-\frac{i}{\hbar} UH\mathbb 1\psi= -\frac{i}{\hbar} UHU^\dagger U\psi.$$

$U$ không cần phải là toán tử tiến hóa thời gian và nó không cần phải đi làm với $H$để điều này hoạt động, nó có thể là bất kỳ đơn nhất nào. Điều này chỉ nói rằng nếu bạn viết$\psi$trong một cơ sở khác sau đó nó phát triển với Hamilton được viết trong cơ sở mới. (Hoặc tương đương rằng một vectơ quay tiến hóa với Hamilton quay).

Answer 2

1. Nếu người Hamilton $\hat{H}$ không phụ thuộc vào thời gian, và $U$ được cho là toán tử tiến hóa thời gian, sau đó $$\hat{U}~=~\exp\left(-\frac{i}{\hbar}\hat{H}\Delta t\right),\tag{A}$$ đi lại nào$^1$ với $\hat{H}$, vậy nên $$UHU^{\dagger} ~=~ H,\tag{B}$$cf. Câu hỏi của OP.

2. Nếu người Hamilton $\hat{H}$làm phụ thuộc vào thời gian, sau đó eqs. (A) & (B) cần được sửa đổi, cf. ví dụ: bài đăng Phys.SE này .

-

$^1$ Một chức năng $f(\hat{H})$ của $\hat{H}$ đi làm với $\hat{H}$, cf. ví dụ: this & this Phys.SE post.

Answer 3

user2723984 là đúng. Tuy nhiên, phần thứ hai của câu hỏi của bạn vẫn chưa được giải quyết: nếu Hamilton giao tiếp với chính nó vào những thời điểm khác nhau, thì toán tử duy nhất trong$U$ Là $H$ và, như $H$ đi lại với chính nó, thứ tự của các toán tử sau đó có thể được thay đổi.