Phép đo Lebesgue của simplex (hỗ trợ phân phối Dirichlet)

Question

Tôi muốn tính toán tiêu chuẩn đo lường Lebesgue $K-1$ simplex: $\{(x_1,...,x_K)~|~\sum_{i=1}^{K} x_i = 1 \mbox{ and } x_i \ge 0 \mbox{ for all } i \in [1,K]\}$ trên $\mathbb{R}^K$. Tôi nghĩ biện pháp là$0$ bởi vì simplex có thứ nguyên $K-1$.

Tuy nhiên, sự hỗ trợ của phân phối Dirichlet là đơn giản như vậy và phân phối Dirichlet có một hàm mật độ xác suất đối với số đo Lebesgue trên không gian Euclide$\mathbb{R}^K$.

Vì vậy tôi đang rất hoang mang. Cách phân phối Dirichlet có thể là thước đo Lebesgue tuyệt đối liên tục trên$\mathbb{R}^K$? Làm thế nào để tính toán khối lượng của simplex bằng tích phân Lebesgue?

Answer 1

Tôi đã tìm thấy câu trả lời bằng cách đọc phần này trong Wikipedia . Trên thực tế, thước đo Dirichlet không hoàn toàn liên tục so với thước đo Lebesgue trên$\mathbb{R}^K$ nhưng cái trên $\mathbb{R}^{K-1}$. Biến cuối cùng$x_K$ là một biến bị ràng buộc, vì vậy phân phối chỉ là wrt $(x_1,...,x_{K-1})$.

Tôi đã sửa đổi trang Wikipedia để loại bỏ lỗi này.