Sản phẩm của hai cặp NDR

Question

Đây là một câu hỏi về bổ đề trong Tôpô đại số của May, khẳng định rằng nếu $(X,A)$ và $(Y,B)$ là các cặp NDR, thì $(X\times Y,X\times B\cup A\times Y)$.

Theo định nghĩa $(X,A)$ là một cặp NDR nếu tồn tại một bản đồ $u:X\to I$ và một sự đồng âm $h:X\times I\to X$ như vậy mà $u^{-1}(0)=A$ và $h(x,0)=x$ cho tất cả $x\in X$, $h(a,t)=a$ cho tất cả $a\in A$ và $t\in I$và $h(x,1)\in A$ cho tất cả $x\in u^{-1}([0,1))$.

Giả sử $(h,u)$ và $(j,y)$ đại diện $(X,A)$ và $(Y,B)$ dưới dạng các cặp NDR và ​​xác định $k:X\times Y\times I\to X\times Y$ bằng cách cho phép $$k(x,y,t)=\begin{cases} (h(x,t),j(y,tu(x)/v(y)))&\text{if }v(y)\geq u(x)\\ (h(x,tv(y)/u(x)),j(y,t))&\text{if }u(x)\geq v(y). \end{cases} $$ Chúng ta hiểu $u(x)/v(y)=1=v(y)/u(x)$ nếu $u(x)=v(y)=0$. Câu hỏi của tôi là: Làm thế nào chúng ta có thể kiểm tra tính liên tục của$k$?

Answer 1

Bạn phải thể hiện điều đó $k$ liên tục trên các tập hợp con $C$ và $D$ của $X\times Y\times I$ Được định nghĩa bởi $v(y)\ge u(x)$ và $u(x)\ge v(y)$ tương ứng, và các định nghĩa thống nhất về $C\cap D$. Điều đó là đủ, vì$C$ và $D$ đã đóng cửa $X\times Y\times I$. Rõ ràng là trên giao lộ họ trùng khớp và vì vậy tất cả những gì người ta cần chứng minh là$k$ liên tục trên $C$ và hơn thế nữa $D$.

Các bằng chứng cho cả hai sẽ tương tự nhau, vì vậy hãy tập trung vào $C$. Tôi nghĩ rõ ràng rằng$k$ liên tục trên tất cả các điểm với $v(y)>0$, Vậy đi $P=(x_0,y_0,t_0)$ với $u(x_0)=v(y_0)=0$, đó là $x_0\in A$ và $y_0\in B$. Chắc chắn$h(x,t)$ liên tục lúc $P$, vì vậy chúng tôi hỏi nếu $j(y,tu(x)/v(y))$cũng. Điều này sẽ tuân theo sự liên tục của$tu(x)/v(y)$. Lưu ý rằng chúng tôi lấy$t_0u(x_0)/v(y_0)$ được $t_0$.

Để cho $U$ là một khu phố của $t_0$ trong $I$. Bởi sự liên tục của$u$ và $v$, nó đủ để chứng minh rằng $$E=\{(r,s,t):0\le r\le s\le1,0\le t\le 1,t(r/s)\in U\}$$ đang mở trong $$F=\{(r,s,t):0\le r\le s\le1,0\le t\le 1\}.$$ Từ quy ước rằng $0/0=1$, $$E=\{(0,0,t):t\in U\}\cup\{(r,s,t)\in F,s>0,rt/s\in U\}$$ mở trong $F$.