Tìm số chữ số trong repunit

Question

Tìm số chữ số trong tổng đơn vị nhỏ nhất chia hết cho$19$.

Tôi tin rằng một số đại diện, với$N$chữ số, có dạng$ \sum_{k=0}^{N-1} 10^k = \frac{10^N -1}{10-1} = \frac{10^N - 1}{9}, $và chia hết cho$n$nếu$10^N - 1 \equiv 0 \pmod{9n}.$Bài giải nên số N nhỏ nhất thỏa mãn$10^N -1 \equiv 0 \pmod{9 \cdot 19}.$Ai đó có thể kết thúc việc này không?

Answer 1

$10\equiv1\pmod9$, Vì thế$10^N\equiv 1 \pmod9$cho tất cả$N\in\mathbb N$,

vì vậy câu hỏi của bạn trở thành số nhỏ nhất là gì$N$làm hài lòng$10^N\equiv1\pmod{19}$.

Theo định lý nhỏ Fermat , chúng ta biết$10^{18}\equiv1\pmod{19}$;

chúng ta chỉ cần thể hiện điều đó$10^6\not\equiv1\pmod{19}$và$10^{9}\not\equiv1\pmod{19}$.

Phương pháp 1

$10^2\equiv5\bmod19$, Vì thế$10^3\equiv50\equiv12\bmod19$, Vì thế$10^6\equiv144\equiv11$, và$10^9\equiv132\equiv18\bmod19$.

Phương pháp 2

$10^6-1=(10^3+1)(10^3-1)=(7\times11\times13)(27\times37)$không chia hết cho$19$.

Theo tiêu chí của Euler ,$10^9-1\equiv\left(\dfrac{10}{19}\right)=\left(\dfrac{2}{19}\right)\left(\dfrac{5}{19}\right)=(-1)\left(\dfrac45\right)=-1\pmod{19}$.