Ước tính $|\int_{\beta}\exp(iz^2)\ dz|$

Question

Để cho $R > 0$ và xem xét một đường cong $$\beta(t) = R\exp(it), \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \leq t \leq \pi/4.$$ Tôi cần thể hiện điều đó $$\left|\int_{\beta}\exp(iz^2)\ dz \right| \leq \frac{\pi(1-\exp(-R^2))}{4R}.$$

Cố gắng: Chà, tôi nghĩ tôi sẽ chỉ sử dụng ước tính ML, nhưng tôi đã gặp khó khăn. Tôi đã tính toán độ dài của cung của đường cong$\beta$: $$l(\beta) = \int_0^{\pi/4}|\beta^{\prime}(t)|dt = \int_0^{\pi/4}|iR\exp(it)|\ dt = \int_0^{\pi/4}R^2\ dt = \frac{\pi R^2}{4}.$$ Bây giờ tôi muốn tìm một $M > 0$ như vậy mà $|\exp(iz^2)|$ bất cứ gì $z \in \ \text{Image}\ \beta $.

Chúng ta có $|\exp(iz^2)| = \exp(-R^2\sin(2t))$. Sử dụng$\sin(2t) \geq \frac{4}{\pi}t$ (mà tôi không hiểu điều đó đúng như thế nào), cho bất kỳ $t \in [0, \pi/4]$, nó mang lại điều đó $$|\exp(iz^2)| \leq \exp\left(-R^2\frac{4}{\pi}t\right).$$ Từ đây, tôi không biết phải tiến hành như thế nào.

Answer 1

Lưu ý rằng chúng tôi có

$$\begin{align} \left|\int_\beta e^{iz^2}\,dz\right|&=\left|\int_0^{\pi/4}e^{i(Re^{i\phi})^2}\,iRe^{i\phi}\,d\phi\right|\\\\ &=\left|\int_0^{\pi/4}e^{iR^2e^{i2\phi}}\,iRe^{i\phi}\,d\phi\right|\\\\ &=\left|\int_0^{\pi/4}e^{iR^2\cos(2\phi)}e^{-R^2\sin(2\phi)}\,iRe^{i\phi}\,d\phi\right|\\\\ &\le R\int_0^{\pi/4}e^{-(4R^2/\pi)\phi}\,d\phi \end{align}$$

trong đó chúng tôi đã sử dụng bất đẳng thức tam giác cùng với ước lượng $ \sin(2\phi)\ge \frac{4\phi}\pi$ cho $0\le \phi\le \pi/4$.

Và bây giờ bạn có thể hoàn thành.