Về căn của đa thức bậc hai

Question

Để cho $z^2-\alpha z+\beta$ là một đa thức bậc hai phức tạp trong đó $|\alpha|<1$ và $|\beta|<1$. Sau đó, chúng ta có thể nói rằng nếu$z_1$ và $z_2$ là gốc của đa thức này, sau đó $|z_1|\leq 1$ và $|z_1|\leq 1$?

Có bất kỳ điều kiện nào về $\alpha$, $\beta$mà tôi có thể đặt để có được yêu cầu mong muốn? tôi nghĩ$|\alpha|+|\beta|\leq 1$sẽ là điều kiện như vậy vì bài đăng này .

Có thể có bất kỳ khác?

Answer 1

Chúng tôi khẳng định rằng nếu chúng tôi tìm kiếm một điều kiện chỉ liên quan đến môđun của các hệ số, $\alpha, \beta$ nó thực sự cần thiết và đủ để có $|\alpha|+|\beta|\le 1$.

Sửa chữa $0<r<1$ và lưu ý rằng phương trình $z^2+(c-r/c)iz+r=0$ có rễ $c/i, ri/c$ đặc biệt cho $c=1$ Ở đâu $|(c-r/c)i|+r=1$ chúng ta nhận được một bậc hai mà $|\alpha|+|\beta|=1$ nhưng một gốc có mô đun $1$ do đó nếu chúng ta lấy $c=1+\epsilon$ sau đó $|(c-r/c)i|+r=1+\epsilon + \epsilon r/(1-\epsilon)$ có thể được thực hiện gần với $1$ như chúng tôi muốn bằng cách chọn đủ nhỏ $\epsilon$ và nhận được một bậc hai của kiểu được yêu cầu với một gốc bên ngoài đĩa đơn vị đóng, vì vậy điều kiện $|\alpha|+|\beta|\le 1$ là cần thiết

Để có đầy đủ, cách dễ nhất là lưu ý rằng nếu $x=ce^{i\theta}, y=re^{i\alpha}/c, |x| \ge |y|$ hai gốc rễ ở đâu $r=|\beta| <1$ và $c=|x| >0$ (giả sử wlog là bậc hai thì không $z^2$ vv) một người có

$1 \ge |\alpha|+|\beta|=|ce^{i\theta}+re^{i\alpha}/c|+r$, vì vậy bằng cách đi qua $r$ ở bên trái và bình phương chúng ta nhận được

$c^2+r^2/c^2+2r\cos (\alpha-\theta) \le 1-2r+r^2$

và kể từ khi $c^2+r^2/c^2+2r\cos (\alpha-\theta) \ge c^2+r^2/c^2-2r$, chúng tôi đạt được:

$c^2+r^2/c^2-2r \le 1-2r+r^2$ hoặc là $(c^2-r^2)(1-c^2) \ge 0$. Từ$c^2>1$ ngụ ý $c^2 \le r^2<1$ điều đó là mâu thuẫn, chúng tôi rõ ràng có $c \le 1$ vì thế $|y| \le |x|=c \le 1$ vậy là xong!

Answer 2

Theo Định lý Rouché, nếu hai hàm $f$ và $g$ tuân theo $|f|<|g|$ trên ranh giới của một miền rồi bên trong miền $f$ và $f+g$sẽ có cùng số lượng các số không. Ở đây chúng tôi có thể lấy$f=z^2$, g =$-\alpha z+\beta$ và lưu ý rằng $f$ có $2$ (nhiều) rễ bên trong $|z|=1$, vì thế $f+g=z^2 -\alpha z+\beta$ sẽ có 2 rễ ở đó với điều kiện $|f|<1$ điều đó có thể được đảm bảo nếu $|\alpha|+|\beta|<1$. Một giới hạn chính xác hơn theo sau trực tiếp từ nghiệm của phương trình bậc hai và có thể được viết dưới dạng:$|\alpha+\sqrt{\alpha^2-4\beta}| \le2$. Nếu chúng ta muốn thư giãn một chút, chúng ta cũng có thể viết$|\alpha|+|\alpha^2-4\beta|^{\frac{1}{2}}\le2$. Bằng cách sử dụng bất đẳng thức Bernouly$|\alpha^2-4\beta|^{\frac{1}{2}}\le|\alpha|+\frac{1}{2}|4\beta | $ chúng ta cũng có thể suy ra điều kiện $|\alpha|+|\beta|<1$.