A $G_\delta$ và ít ỏi đặt trong $\mathbb{R}$

Question

Tôi đã nghĩ về nó, và tôi không chắc những bộ như vậy tồn tại. Ý tôi là, rõ ràng các tập hợp hữu hạn thỏa mãn cả hai định nghĩa, tôi đang tìm kiếm một ví dụ không tầm thường.

Các định nghĩa là: Một tập hợp $M \subseteq \mathbb{R}$ nó là một tập hợp ít ỏi nếu tồn tại một chuỗi $\{F_n\}$ của hư không dày đặc (tức là với bên trong trống rỗng) với $M = \bigcup F_n$; và một bộ$X \subseteq \mathbb{R}$ nó là một $G_\delta$ đặt nếu tồn tại một chuỗi $\{A_n\}$ bộ mở với $M = \bigcap A_n$.

Nếu bất kỳ ai có một ý tưởng hoặc một số tài liệu tham khảo, tôi sẽ đánh giá cao thông tin. Cảm ơn!

Answer 1

Một ví dụ thú vị hơn là tập Cantor , nó là một tập con hư không dày đặc (do đó ít ỏi) của các thực với cùng một bản số như toàn bộ$\Bbb R$, và nó cũng là một $G_\delta$ thiết lập vì mọi tập hợp đóng là $G_\delta$trong không gian hệ mét. Bằng cách xem xét tập hợp Cantor béo thay vì xây dựng một phần ba tiêu chuẩn, bạn thậm chí có thể lấy các ví dụ với thước đo tích cực.

Lưu ý rằng nói chung, theo định lý loại Baire, việc tạo ra sao chổi dễ dàng hơn nhiều $G_\delta$ bộ (do đó ít ỏi $F_\sigma$ bộ)