Bất đẳng thức nội suy (nhúng Sobolev)

Question

Để cho $\Omega$ là một $C^1$ miền, cho bất kỳ $\epsilon>0, 0<|\alpha|<k$, tồn tại một $C_\epsilon$ như vậy mà $$||D^\alpha u||_{L^p}\leq \epsilon||u||_{W^{k,p}}+C_\epsilon||u||_{L^p}$$ cho tất cả $u\in W^{k,p}$.

Tôi đã cố gắng chứng minh điều đó bằng sự mâu thuẫn.

$\forall n \in \mathbb{N}, \exists u_n \in W^{k,p}$ như vậy mà $||D^\alpha u_n||_{L^p}>\epsilon||u_n||_{W^{k,p}}+n||u_n||_{L^p}$.

Bất cứ ai có thể cho tôi một gợi ý về việc sử dụng nhúng Sobolev nhỏ gọn?

Tôi đã cố gắng sử dụng $W^{k,p}\subset \subset L^p$. Tuy nhiên, tôi không biết làm thế nào để chứng minh rằng trình tự được giới hạn trong$sup$.

Bằng cách chuẩn hóa, $v_n=\frac{u_n}{||u_n||_{W^{k,p}}}$, chúng ta sẽ có $$\frac{1}{||u_n||_{W^{k,p}}}||D^\alpha u_n||_{L^p}>\epsilon+\frac{n}{||u_n||_{W^{k,p}}}||u_n||_{L^p}$$

Answer 1

Hóa ra là việc nhúng $W^{k,p} \subset \subset L^p$nhỏ gọn là không đủ tốt. Chúng tôi cần một cái gì đó mạnh hơn một chút: cho$0<|\alpha| < k$ sự nhúng $W^{k,p} \subset \subset W^{|\alpha|,p}$ cũng nhỏ gọn.

Sau khi bạn có (sau khi chuẩn hóa) $\|u_n\|_{W^{k,p}} = 1$ cho tất cả $n$, trình tự $u_n$ bị ràng buộc trong $W^{k,p}$ (bởi vì $\sup_n \|u_n\|_{W^{k,p}} =1$ khi chúng tôi chuẩn hóa từng thứ trong số chúng), do đó bằng cách bao gồm gọn nhẹ, có một dãy con hội tụ $u_{n_j} \xrightarrow{W^{|\alpha|,p}} u$.

Bây giờ, hãy viết ra tuyên bố mâu thuẫn: $$ \|D^{\alpha} u_{n_j}\|_{L^p} > \epsilon\|u_{n_j}\|_{W^{k,p}} + n \|u_{n_j}\|_{L^p} = \epsilon + n \|u_{n_j}\|_{L^p} \tag{*} $$

Lưu ý rằng kể từ $1 = \|u_{n_j}\|_{W^{k,p}} \geq \|D^{\alpha}u_{n_j}\|_{L^p}$, LHS bị ràng buộc bởi $1$. Từ đây, phía bên tay phải được giới hạn bởi$1$. Nhưng để điều đó xảy ra, chúng ta phải có$\|u\|_{L^p} = 0$, vì nếu không, thì RHS sẽ giống như $\epsilon + n \|u\|_{L^p}$ Cho lớn $n$, không bị ràng buộc trừ khi $\|u\|_{L^p} = 0$. Vì thế$u=0$.

Nhưng chúng tôi cũng có $D^{\alpha} u_{n_j} \xrightarrow{L^p} D^{\alpha} u = 0$. Tuy nhiên, nếu chúng ta giới hạn trong$*$ chúng tôi nhận được $\|D^{\alpha}u\|_{L^p} > \epsilon$. Điều này hoàn thành mâu thuẫn.