$\cap_{n=1}^{\infty}A_n$ và vô cùng
Một câu hỏi:
- Nếu định nghĩa của $\cap_{n=1}^{\infty}A_n=\{x\in A_i\forall n\in N\}$ và nó không phải là rỗng, vậy thì nó có nghĩa là các phần tử của nó thuộc về giao điểm vô hạn của $A_n$ hoặc bất kỳ giao điểm hữu hạn nào của $A_n$ cho tất cả các số tự nhiên?
Để giải thích thêm, tôi muốn cho biết cảm giác của tôi đối với ký hiệu khó hiểu này $\cap_{n=1}^{\infty}A_n$.
Phân tích Hiểu biết Steven Abbott
Ví dụ 1.2.2 trong đó nó định nghĩa $A_i = \{x\in N: x\geq i\}$. Bằng cách quy nạp, nó là không có gì cho mỗi giao điểm hữu hạn. Nhưng một bằng chứng mâu thuẫn có thể cho thấy rằng khi nó chuyển sang trường hợp vô hạn , sử dụng ký hiệu$\cap_{n=1}^{\infty}A_i$, nó là một tập hợp rỗng. Nói cách khác, trong ví dụ này, ký hiệu này được sử dụng cho giao điểm vô hạn.
Định lý 1.4.1 trong đó nó chứng minh tính chất khoảng lồng nhau. $I_n = \{x\in R: a_n\leq x\leq b_n\}$. Ở đây, nó không chỉ rõ đây có phải là giao điểm vô hạn hay không. Thay vào đó, nó nói,$\exists x\forall n\in N x\in I_n$. Do đó, điều đó$x\in\cap_{n=1}^{\infty}A_n$. Nói cách khác, trong ví dụ này, ký hiệu này được sử dụng cho mọi số tự nhiên hữu hạn
Định lý 1.5.8 cho biết Nếu$A_n$ là một tập hợp có thể đếm được cho mỗi $n\in N$, sau đó $\cup_{n=1}^{\infty}A_n$có thể đếm được. Nói cách khác, trong ví dụ này, ký hiệu này được sử dụng cho giao điểm vô hạn.
Tôi bối rối bởi ký hiệu này theo nghĩa rằng ký hiệu bao gồm dấu vô cực nhưng định nghĩa của nó có nghĩa là mọi số tự nhiên. Vì vậy, bất cứ khi nào tôi nhìn thấy nó, tôi chỉ không biết cái nào để áp dụng.
Nói xem tôi có đi theo hướng có thể áp dụng không $\forall n\in N$, thì cảm ứng sẽ hoạt động bởi vì cảm ứng đang hoạt động chính xác như vậy! Mặc dù vậy, bài đăng này gợi ý khác bằng cách nói rằng ký hiệu là về vô cùng .
Tốt thôi, tôi chuyển hướng mà nó là khoảng giao cắt vô tận. Nhưng sau đó, trong một số trường hợp, ví dụ như trường hợp tôi đã liệt kê ở trên, bằng cách nào đó, nếu một cái gì đó có thể áp dụng cho tất cả các số tự nhiên, thì nó là một phần của ký hiệu này.
Vì vậy, tóm lại, tôi cảm thấy rằng ký hiệu này có 2 ý nghĩa trái ngược nhau
- $\forall n\in N$
- vô cực
Tôi đã nghiên cứu và đặt câu hỏi trước đây nhưng tôi vẫn không hiểu. Vì vậy, tôi đoán tôi đã có một cái gì đó sai và nhầm lẫn trong một số định nghĩa.
Trả lời
$\bigcap_{n=1}^\infty A_n$là một bộ. Cái thiết lập gì vậy? Tập hợp của tất cả những thứ thuộc về mọi bộ$A_n$ cho $n\in\Bbb Z^+$. Để cho$\mathscr{A}=\{A_n:n\in\Bbb Z^+\}$; sau đó$\bigcap\mathscr{A}$ có nghĩa chính xác như nhau. $\bigcap_{n=1}^\infty A_n$ chỉ đơn giản là một ký hiệu thông lệ có nghĩa là không nhiều hơn hoặc ít hơn $\bigcap_{n\ge 1}A_n$, $\bigcap\mathscr{A}$và $\bigcap\{A_n:n\in\Bbb Z^+\}$. Không có$A_\infty$: các $\infty$ chỉ là một tín hiệu cho thấy chỉ số $n$ là giả sử tất cả các giá trị nguyên dương.
Giả sử rằng với mỗi số thực dương $x$ Tôi để $I_x$ là khoảng thời gian mở $(-x,x)$. Sau đó$\bigcap_{x\in\Bbb R^+}I_x$là tập hợp tất cả các số thực thuộc mọi khoảng mở này. Nếu$\mathscr{I}=\{I_x:x\in\Bbb R^+\}$, sau đó
$$\bigcap\mathscr{I}=\bigcap_{x\in\Bbb R^+}I_x=\bigcap_{x\in\Bbb R^+}(-x,x)=\{0\}\,.$$
Làm sao tôi biết? Nếu$y\in\Bbb R\setminus\{0\}$, sau đó $y\notin(-|y|,|y|)=I_{|y|}$, vì vậy có ít nhất một thành viên của $\mathscr{I}$ điều đó không chứa $y$, và do đó theo định nghĩa $y$ không nằm trong giao điểm của các bộ trong gia đình $\mathscr{I}$. Mặt khác,$0\in(-x,x)=I_x$ Cho mọi $x\in\Bbb R^+$, vì thế $0$ đang ở trong giao lộ$\bigcap\mathscr{I}$.
Trong cả hai trường hợp, chúng tôi không sử dụng cảm ứng ở bất cứ đâu. Trong trường hợp của các bộ$A_n$ chúng tôi có thể sử dụng cảm ứng trên $n$ để cho thấy rằng mỗi bộ $A_n$ có một số tài sản $P$, nhưng chúng tôi không thể mở rộng cảm ứng đó để hiển thị rằng $\bigcap\mathscr{A}$ có $P$. Bằng cách nào đó, chúng ta có thể sử dụng thực tế rằng mỗi$A_n$ có tài sản $P$ để thể hiện điều đó $\bigcap\mathscr{A}$ cũng có $P$, nhưng điều đó sẽ yêu cầu một đối số riêng biệt; nó sẽ không phải là một phần của cảm ứng. Lập luận quy nạp trong trường hợp đó sẽ chứng minh rằng
$$\forall n\in\Bbb Z^+(A_n\text{ has property }P)\,;$$
sau đó đối số riêng biệt sẽ hiển thị, sử dụng kết quả đó và các dữ kiện khác, rằng tập hợp duy nhất $\bigcap\mathscr{A}$ có tài sản $P$. Bạn có thể gọi bộ này$A_\infty$nếu bạn muốn làm như vậy, nhưng đó chỉ là một nhãn hiệu; bạn cũng có thể gọi nó như nhau$A$, hoặc là $X$, hoặc thậm chí $A_{-1}$, mặc dù tôi không thể tưởng tượng nổi tại sao bạn lại muốn sử dụng nhãn cuối cùng đó.
Trong trường hợp của các bộ $I_x$ không có khả năng sử dụng cảm ứng để cho thấy rằng mỗi $I_x$ có một số thuộc tính: những tập hợp này không thể được liệt kê là $I_1,I_2,I_3$, v.v., bởi vì có rất nhiều trong số họ không đếm được. Chúng tôi vẫn có thể chứng minh những điều về bộ$\bigcap\mathscr{I}$, Tuy nhiên. Và chúng tôi có thể cho nó bất kỳ nhãn thuận tiện nào.$\bigcap\mathscr{I}$là thông tin nhưng có lẽ một chút bất tiện; Tôi có thể chọn cho nó nhãn hiệu$I$.
Trong trường hợp $\mathscr{A}$ tình cờ có một ký hiệu thông lệ sử dụng ký hiệu $\infty$, nhưng đó chỉ đơn giản là hệ quả của thực tế là các bộ $A_n$được lập chỉ mục bởi các số nguyên. Chúng tôi đang làm chính xác loại điều tương tự trong ví dụ với$\mathscr{I}$, nhưng trong trường hợp đó, không có khả năng sử dụng giới hạn $\infty$ trên giao lộ, bởi vì không có cách nào để lập chỉ mục cho nhiều tập hợp không đếm được $I_x$ bằng số nguyên.