Chỉ $\vDash \phi \to \psi \Leftrightarrow \{\phi\} \vDash \psi$.

Question

Dirk van Dalen. " Logic và Cấu trúc (Universitext) " (trang 29)

Định nghĩa 1.2.1 Một ánh xạ$v : PROP \to \{0, 1\}$ là một định giá nếu $ v(\phi \land \psi) = min(v(\phi), v(\psi)),\\ v(\phi \lor \psi) = max(v(\phi), v(\psi)),\\ v(\phi \to\psi)=0 \leftrightarrow v(\phi)=1 \text{and} v(\psi)=0,\\ v(\phi \leftrightarrow \psi)=1 \leftrightarrow v(\phi)=v(\psi), v(\lnot\phi) = 1 − v(\phi)\\ v(\bot) = 0\\ $

Định nghĩa 1.2.4 (i)$\phi$ là một sự căng thẳng nếu $ [[\phi]]v$ = 1 cho tất cả các định giá $v$, (ii) $\vDash \phi$ viết tắt của '$\phi$ là một sự phản phục ', (iii) Hãy $\Gamma$ là một tập hợp các mệnh đề, sau đó $\gamma \vDash \phi$ iff cho tất cả $v$ : $([[\phi]] v = 1 \text{for all } \psi \in \Gamma) \to [[\phi]]v = 1$.

Khung bằng chứng của tôi về một mặt của bằng chứng: $\{\phi\} \vDash \psi \Rightarrow \, \vDash \phi \to \psi$.

Từ $\{\phi\} \vDash \psi$, Tôi biết điều đó cho tất cả các định giá $v$, $[[\phi]]_v = 1 \Rightarrow [[\psi]]_v = 1$. Bằng chứng:

• Tôi bắt đầu giả định $[[\phi]]_v = 1$
  • $[[\phi]]_v = 1 \to [[\psi]]_v = 1$
  • $[[\psi]]_v = 1$
• $[[\phi]]_v = 1 \to [[\psi]]_v = 1$
• $\vdots$

Có phải tôi đang trên đường ray bên phải không ?

Answer 1

Bắt đầu với giả định rằng $[[\phi]]_v = 1$đúng.
Các$[[\psi]]_v$trong gạch đầu dòng đầu tiên của bạn là lạ; đó chỉ là một số chưa biết (giá trị sự thật chưa được xác định) đứng ở đó, nhưng sau "nếu ... thì" người ta mong đợi một câu lệnh. Vì vậy, chỉ cần làm mà không có gạch đầu dòng phụ và kết luận$[[\psi]]_v = 1$trực tiếp.
Nói chung, bạn cũng nên thêm những lời giải thích ngắn gọn về cách bạn thu được kết quả của mình: Ở đây, bạn đã sử dụng giả định rằng$\phi \vDash \psi$.
Sau đó, bạn muốn sử dụng kết quả này để kết luận rằng hàm ý$\phi \to \psi$ là đúng theo định giá đã cho, được chứng minh theo định nghĩa 1.2.1.

Để hoàn thành bằng chứng cho hướng đầu tiên, bạn phải bao gồm trường hợp khác: $[[\phi]]_v = 0$. Đó là, bạn thực hiện một bằng chứng theo các trường hợp về các giá trị sự thật có thể có của$\phi$, và hiểu rằng hàm ý theo sau trong trường hợp eihter.

Cuối cùng, bạn nên làm rõ điều đó $v$ bạn đang nói về: Bạn đang thực hiện bằng chứng cho một $v$, sau đó kết luận rằng kể từ $v$ là trọng tài, ở trên giữ cho tất cả các định giá, do đó $\vDash$.

Kết hợp điều này với nhau, một phiên bản cải tiến của nỗ lực của bạn trông như sau:

Giả định $\phi \vDash \psi$.
Để cho$v$là một định giá tùy ý.
Có hai trường hợp cần phân biệt:

1. $[[\phi]]_v = 1$.
   Theo giả định$\phi \vDash \psi$, nó theo sau đó $[[\psi]]_v$= 1.
   Vậy thì theo bảng hàm ý chân lý,$[[\phi \to \psi]]_v = 1$.
2. $[[\phi]]_v = 0$.
   $\vdots$

Trong cả hai trường hợp, nó cho rằng $[[\phi \to \psi]]_v = 1$.
Từ$v$ là tùy ý, những điều trên giữ cho tất cả các định giá, do đó $\vDash \phi \to \psi$.