Cho thấy $U_1 \oplus U_2=V$

Question

Để cho $V=\mathbb{R}^\mathbb{R}$ là một $\mathbb{R} $ không gian vectơ của tất cả các ánh xạ từ $\mathbb{R}$ đến $\mathbb{R}$

$$U_1=\{f \in V:f(-x)=f(x), \forall x \in\mathbb{R} \}$$

$$U_1=\{f \in V:f(-x)=-f(x), \forall x \in\mathbb{R} \}$$

Cho thấy $U_1 \oplus U_2=V$.

Ai đó có thể cho tôi một gợi ý về cách bắt đầu với nó không?

Ý tưởng ban đầu của tôi là thể hiện rằng $U_1 \cap U_2 = {0}$ và $\dim_\mathbb{R}(U_1)+\dim_\mathbb{R}(U_2)=\dim_\mathbb{R}(V)$

Answer 1

$U_1\cap U_2=\{0\}$rất dễ dàng và tôi sẽ để bạn xử lý nó. Đối với thuộc tính thứ hai, sử dụng thực tế rằng$f=g+h$ Ở đâu $g(x)=\frac {f(x)+f(-x)} 2$ và $h(x)=\frac {f(x)-f(-x)} 2$

Answer 2

$f(x)={1\over 2}(f(x)+f(-x))+{1\over 2}(f(x)-f(-x))$

Answer 3

Gợi ý: Mọi hàm đều có thể được viết dưới dạng tổng của một hàm lẻ và một hàm chẵn. Ví dụ: cho bất kỳ$g\in V$, lưu ý rằng $g(x) =Even +Odd=\frac{g(x) +g(-x)} {2}+\frac{g(x)-g(-x)}{2}\in U_1+U_2$.
Đối với$U_1\cap U_2$, hãy nghĩ về hàm đó là hàm lẻ và thậm chí cả hai!