Định luật Morrie với sin

Question

Trong khi việc chứng minh là tầm thường $\prod_{k=0}^{n-1}\cos(2^kx)=\frac{\sin(2^nx)}{2^n\sin x}$, Wikipedia đề cập đến danh tính "tương tự" $\sin\tfrac{\pi}{9}\sin\tfrac{2\pi}{9}\sin\tfrac{4\pi}{9}=\frac{\sqrt{3}}{8}$. Làm thế nào để điều này khái quát thành một kết quả cho$\prod_{k=0}^{n-1}\sin(2^kx)$? Không đạt được điều đó, làm thế nào để chứng minh trường hợp đặc biệt này?

Answer 1

Tôi có thể cho bạn xem bằng chứng về danh tính tương tự, nhưng tôi không biết công thức chung cho $\prod_{k=0}^{n-1}\sin(2^kx)$.

Theo Hiển thị$\sin{\frac{\pi}{13}} \cdot \sin{\frac{2\pi}{13}} \cdot \sin{\frac{3\pi}{13}} \cdots \sin{\frac{6\pi}{13}} = \frac{\sqrt{13}}{64}$, chúng tôi có cái đó $$\prod _{k=1}^{n-1}\,\sin \left({\frac {k\pi }{n}} \right)=\frac{n}{2^{n-1}} .$$ Đối với $n=9$, theo tính đối xứng, chúng ta có $$\left(\sin \left({\frac {\pi }{9}}\right) \sin \left({\frac {2\pi }{9}}\right)\sin \left({\frac {4\pi }{9}}\right)\right)^2\underbrace{\sin^2\left({\frac {\pi }{3}}\right)}_{3/4}=\prod _{k=1}^{8}\,\sin \left({\frac {k\pi }{9}} \right)=\frac{9}{256} $$ và nó theo sau đó $$\sin \left({\frac {\pi }{9}}\right) \sin \left({\frac {2\pi }{9}}\right)\sin \left({\frac {4\pi }{9}}\right)=\sqrt{\frac{3}{64}}=\frac{\sqrt{3}}{8}.$$ Theo cách tương tự, đối với $n=7$, chúng tôi cho thấy rằng $$\sin \left({\frac {\pi }{7}}\right) \sin \left({\frac {2\pi }{7}}\right)\sin \left({\frac {4\pi }{7}}\right)=\frac{\sqrt7}{8}.$$