Định lý Cramer-Wold.

Question

Định lý (thiết bị Cramer-Wold): Phân phối ngẫu nhiên $n$-giám đốc $X$ hoàn toàn được xác định bởi tập hợp tất cả các phân phối một chiều của các tổ hợp tuyến tính $t^TX$, Ở đâu $t$ phạm vi trên tất cả cố định $n$-các diễn viên. $$$$ Bằng chứng. $ Y: = t ^ TX $ có hàm đặc trưng: $$ \ phi_Y (s): = E [e ^ {isY}] = E [e ^ {ist ^ TX}] $$ Nếu chúng ta biết phân phối của mỗi $ Y $ , chúng tôi biết CF $ \ phi_Y (s) $ của nó . Đặc biệt, lấy $ s = 1 $ , ta biết $ E [e ^ {ist ^ TX}] $ . Nhưng đây là CF của $ X = (X_1, \ ldots, X_n) ^ T $ được đánh giá tại $ t = (t_1, \ ldots, t_n) ^ T $ . Nhưng điều này xác định phân phối của $ X. $

Những câu hỏi của tôi:

1. Nếu $ s = 1 $ thì bằng chứng có mất tính tổng quát không? Tại sao không?
2. Cách giải thích của tôi về chứng minh là nếu kết hợp tuyến tính của vectơ và vectơ có cùng một hàm đặc trưng thì phân phối của chúng giống nhau. Cách hiểu này có đúng không? 3) 'Hoàn toàn xác định' có nghĩa là gì trong định lý?

Answer 1

• Tôi không hiểu ý bạn là "mất tính tổng quát" trong câu hỏi đầu tiên của bạn. "Tính tổng quát" duy nhất trong bằng chứng mà đối với tôi dường như có tầm quan trọng là nó phải hoạt động cho bất kỳ$\ n$-vector và cho bất kỳ $\ n\ $, mà nó làm. Đặt$\ s=1\ $ chỉ là một bước trong bằng chứng, một bước mà bạn có thể thực hiện một cách hợp pháp bất kể giá trị của $\ n\ $ và $\ X\ $ vì vậy nó không áp đặt bất kỳ hạn chế nào đối với họ.

• Một vectơ không giống như một tổ hợp tuyến tính của các mục nhập của nó (trừ khi vectơ, $\ X\ $ Là $1$-dimensional và kết hợp tuyến tính là $\ 1\cdot X\ $), phải là một đại lượng vô hướng. Vì vậy, cả phân phối và hàm đặc trưng của một vectơ ngẫu nhiên đều không thể giống như phân phối hoặc hàm đặc trưng của một vectơ ngẫu nhiên có thể giống với tổ hợp tuyến tính của các mục của vectơ ngẫu nhiên đó. Sự phân phối của một ngẫu nhiên$\ n$-vector cũng như chức năng đặc trưng của nó sẽ là các chức năng của $\ n\ $các biến, trong khi cả phân phối và hàm đặc trưng của bất kỳ tổ hợp tuyến tính cụ thể nào của các mục nhập của vectơ ngẫu nhiên sẽ là các hàm của một biến duy nhất .

  Điểm quan trọng trong thiết bị Cramer-Wold là bạn phải biết phân phối một chiều của không chỉ một số kết hợp tuyến tính cụ thể của các mục nhập của vectơ ngẫu nhiên, mà của mọi kết hợp tuyến tính như vậy và điều này cho phép bạn suy ra phân phối của vectơ, một hàm của nhiều biến, từ họ hàm vô hạn của một biến duy nhất.